圆的方程复习课知识体系构建题型一直线与圆的位置关系的判断例1若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．【题型探究】【解】法一：(代数法)由方程组4x－3y＋a＝0，x2＋y2＝100，消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90000>0，－50
50.法二：(几何法)圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，则圆心到直线的距离d＝|a|32＋42＝|a|5，①当直线和圆相交时，dr，即|a|5>10，a<－50或a>50.【名师点评】判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．跟踪训练1．若直线xa＋yb＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则()A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1D.1a2＋1b2≥1解析：选D.直线xa＋yb＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，因此圆心(0,0)到直线bx＋ay－ab＝0的距离应小于等于1.∴|－ab|a2＋b2≤1，∴1a2＋1b2≥1.例2若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．题型二切线问题【解】法一：(1)若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以|5－k|k2＋1＝1，所以k＝125.所以直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝0.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.法二：(1)若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，与圆的方程联立消去y得：(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0， Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，∴k＝125.此时直线l的方程为y－3＝125(x－2)，即12x－5y－9＝0.(2)若直线l的斜率不存在，即x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.【名师点评】如果所求切线过某已知点，务必弄清该点与圆的位置关系．另外求切线时应注意对斜率不存在时过该点直线的验证．跟踪训练：求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．【解】所求圆与直线y＝0相切且半径为r＝4，则设所求圆的圆心为(a，±4)．已知圆的方程化为标准式为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其圆心为(2,1)，半径R＝3.①当两圆外切时，圆心距为r＋R＝4＋3＝7，即(a－2)2＋(4－1)2＝49.解得a＝2±210；或(a－2)2＋(－4－1)2＝72，解得a＝2±26.∴所求圆方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.②当两圆内切时，圆心距为|R－r|＝4－3＝1.∴(a－2)2＋(4－1)2＝1或(a－2)2＋(－4－1)2＝1.这两个方程均无解．综上所述，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16.例3已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)mR∈时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．题型三圆的弦长及应用【解】(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．(2)如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．此时PC⊥l，直线l的斜率为－13，所以m＝－16，在△APC中，|PC|＝10，|AC|＝r＝5，所以|AP|＝52－102＝15，所以|AB|＝215.所以当m＝－16时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为215.跟踪训练3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点O作OC⊥AB.由已...
