1.2.2空间两条直线的位置关系学习目标1.掌握理解公理4及其他定理；2．理解并掌握异面直线及异面直线所成的角的概念；3．掌握空间两条直线的位置关系，求异面直线所成的角，用反证法证明命题的方法与步骤．课堂互动讲练知能优化训练1.2.2空间两条直线的位置关系课前自主学案课前自主学案温故夯基1．平面的本质特征是________________________．2．公理1的符号语言表达为：____________________________.无限延展性，不可度量性A∈α，B∈α，A∈l，B∈l⇒l⊂α3．公理2是：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．别忘了它还有三个推论呢！4．公理3是证明多个点_____或多线_____的主要理论依据．5．平面几何中，两直线位置关系有_____和_____．共线共点平行相交知新益能1．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：(1)从是否有公共点的角度：没有公共点__________________有且仅有一个公共点——_________平行直线异面直线相交直线(2)从是否共面的角度：在同一平面内__________________不同在任何一平面内——_________2．平行公理(公理4)：平行于同一条直线的两条直线_________，符号表示：a∥bb∥c⇒a∥c.平行直线相交直线异面直线互相平行3．异面直线(1)定义：_____________________的两条直线叫做异面直线．(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．不同在任何一个平面内(3)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与这个平面内___________的直线是异面直线．符号表示：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线．不经过该点思考感悟1．若a⊂α，b⊂β，那么a与b一定是异面直线吗？提示：不一定．两直线是异面直线，则不同在任何一个平面内．当a⊂α，b⊂β时，可能存在平面γ，使a⊂γ且b⊂γ，即a与b共面．4．等角定理空间中如果两个角的两边分别_________，那么这两个角_____或_____．5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的_____(或_____)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．对应平行相等互补锐角直角(2)异面直线所成的角θ的取值范围:___________.(3)当θ＝____时，a与b互相垂直，记作_____.思考感悟2．怎样求两异面直线所成的角？提示：求两异面直线所成的角需转化为两条相交直线所成的角，即空间问题平面化，体现了转化的数学思想方法.(0°,90°]90°a⊥b课堂互动讲练平行公理、等角定理的应用考点突破公理4常用来证明分别在两个不同平面的两条直线平行，往往通过“中间量”即第三条直线来实现；证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，求证四边形MNA′C′是梯形．【思路点拨】要证明一个四边形是梯形，需找平行，由图可知A′N与C′M不可能平行，需证MN∥A′C′.例例11【证明】如图所示，连结AC. M，N分别为CD，AD的中点，∴MN12AC.由正方体的性质知ACA′C′，∴MN12A′C′.又由已知可知A′N与C′M不平行，∴四边形MNA′C′是梯形．【名师点评】证明两直线平行的方法：①平行线的定义：在同一平面内没有公共点的两直线是平行直线．②利用三角形中位线平行于底边这一性质.③利用公理4.④利用平行四边形对边互相平行的性质．变式训练1如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.证明：(1)如图所示，连结EF，FG，GH，HE，在△ABD中， E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD，同理FG∥BD，∴EH∥FG，∴E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理GH∥AC.又 四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD.两条直线异面，有时看上去像平行，有时看上去像相交，所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会判定两条直线异面的方法．异面直线的判定例例22如图所示，在空间四边形ABCD中，AB≠AC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，求证：AE和DF是异面直线．【思路点拨】要证两条直线异面，可分别用定理法...
