1.3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念【课标要求】1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法.3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系.【核心扫描】1.对函数奇偶性概念的理解.(难点)2.根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.(重点)自学导引1.函数奇偶性的概念设函数f(x)的定义域为D,(1)偶函数:对任意x∈D,都有,则f(x)为偶函数.(2)奇函数:对任意x∈D,都有,则f(x)为奇函数.想一想:若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)等于什么?提示f(0)=0.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)2.奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于对称.(2)奇函数的图象关于对称.想一想:奇函数、偶函数的图象有何特征?提示(1)若一个函数是奇函数,则其图象关于原点对称,反之,若一个函数图象关于原点中心对称,则其一定是奇函数.(2)若一个函数是偶函数,则其图象关于y轴对称,反之,若一个函数图象关于y轴成轴对称,则其必为偶函数.y轴原点(2)在判断f(-x)与f(x)的关系时,可以从f(-x)开始化简,也可以去考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否为0,当f(x)不等于0时也可考虑,f-xfx与1或-1的关系.题型一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=3xx2+3;(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;(3)f(x)=2x2+2xx+1.[思路探索]确定完函数的定义域后,再严格按照函数奇偶性的定义来判断.规律方法判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:(1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.(2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.【变式1】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=13x2;(3)f(x)=x-1+1-x.解(1)f(x)定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)f(x)定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)=13-x2=13x2=f(x),故f(x)为偶函数.(3)由x-1≥0,1-x≥0,得:x=1且f(1)=0,表示点(1,0),故f(x)为非奇非偶函数.题型二分段函数的奇偶性【例2】已知函数f(x)=x2+2x+3x<0,0x=0,-x2+2x-3x>0,试判断f(x)的奇偶性.[思路探索]本题可根据奇偶性的定义判断,同时要注意对x所属区间的讨论.也可利用图象判断.法二作出函数f(x)的图象,如图所示,函数图象关于原点对称,所以f(x)是奇函数.规律方法(1)分段函数的奇偶性应分段判断f(-x)与f(x)的关系,只有当对称的两段上都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.(2)分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断.【变式2】判断函数f(x)=x-10x+1x>0x=0x<0的奇偶性.解函数f(x)的定义域是R,关于原点对对称,当x<0时,-x>0,f(-x)=-x-1=-(x+1)=-f(x);另一方面,当x>0时,-x<0,f(-x)=-x+1=-(x-1)=-f(x),而f(0)=0,∴f(x)是奇函数.题型三奇偶函数的图象及应用【例3】(12分)如图所示,已知f(x)=1x2+1在区间[0,+∞)上的图象,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象,并说明你的作图依据.审题指导先判断f(x)的奇偶性,再利用奇偶性作出图象.[规范解答]由f(x)=1x2+1,知f(x)的定义域为R,(3分)任意x∈R,都有f(-x)=1-x2+1=1x2+1=f(x),所以函数f(x)为偶函数,(6分)故函数f(x)的图象关于y轴对称,其图象如图所示.(12分)【题后反思】若知道一个函数的奇偶性,则只需把它的定义域分成关于原点对称的两部分,得到函数在一部分上的性质和图象,利用图象的对称性就可以推出函数在另一部分上的性质和图象.【变式3】设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,函数y=f(x)的图象如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为________.解析由原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值y<0的x的...