高中数学 1-3-2-1函数的基本性质课件 新人教A版必修1 课件VIP专享VIP免费

1.3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念【课标要求】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．掌握判断函数奇偶性的方法．3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．【核心扫描】1．对函数奇偶性概念的理解．(难点)2．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点)自学导引1．函数奇偶性的概念设函数f(x)的定义域为D，(1)偶函数：对任意x∈D，都有，则f(x)为偶函数．(2)奇函数：对任意x∈D，都有，则f(x)为奇函数．想一想：若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)等于什么？提示f(0)＝0.f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)2．奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于对称．(2)奇函数的图象关于对称．想一想：奇函数、偶函数的图象有何特征？提示(1)若一个函数是奇函数，则其图象关于原点对称，反之，若一个函数图象关于原点中心对称，则其一定是奇函数．(2)若一个函数是偶函数，则其图象关于y轴对称，反之，若一个函数图象关于y轴成轴对称，则其必为偶函数．y轴原点(2)在判断f(－x)与f(x)的关系时，可以从f(－x)开始化简，也可以去考虑f(－x)＋f(x)或f(－x)－f(x)是否为0，当f(x)不等于0时也可考虑，f－xfx与1或－1的关系．题型一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3xx2＋3；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2xx＋1.[思路探索]确定完函数的定义域后，再严格按照函数奇偶性的定义来判断．规律方法判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．【变式1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(2)f(x)＝13x2；(3)f(x)＝x－1＋1－x.解(1)f(x)定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)f(x)定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(－x)＝13－x2＝13x2＝f(x)，故f(x)为偶函数．(3)由x－1≥0，1－x≥0，得：x＝1且f(1)＝0，表示点(1,0)，故f(x)为非奇非偶函数．题型二分段函数的奇偶性【例2】已知函数f(x)＝x2＋2x＋3x<0，0x＝0，－x2＋2x－3x>0，试判断f(x)的奇偶性．[思路探索]本题可根据奇偶性的定义判断，同时要注意对x所属区间的讨论．也可利用图象判断．法二作出函数f(x)的图象，如图所示，函数图象关于原点对称，所以f(x)是奇函数．规律方法(1)分段函数的奇偶性应分段判断f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．(2)分段函数的奇偶性也可通过函数图象的对称性加以判断．【变式2】判断函数f(x)＝x－10x＋1x>0x＝0x<0的奇偶性．解函数f(x)的定义域是R，关于原点对对称，当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)；另一方面，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．题型三奇偶函数的图象及应用【例3】(12分)如图所示，已知f(x)＝1x2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，并说明你的作图依据．审题指导先判断f(x)的奇偶性，再利用奇偶性作出图象．[规范解答]由f(x)＝1x2＋1，知f(x)的定义域为R，(3分)任意x∈R，都有f(－x)＝1－x2＋1＝1x2＋1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，(6分)故函数f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．(12分)【题后反思】若知道一个函数的奇偶性，则只需把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得到函数在一部分上的性质和图象，利用图象的对称性就可以推出函数在另一部分上的性质和图象．【变式3】设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的...