高三数学一轮复习(9.7 抛物线)课件VIP专享VIP免费

§9.7抛物线基础知识自主学习要点梳理1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的相等焦点准线2．抛物线的标准方程与几何性质y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F-p2，0F0，p2F0，-p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2[难点正本疑点清源]1．抛物线的定义抛物线的定义实质上给出一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．2．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．3．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程．基础自测1．抛物线y2＝8x的焦点坐标是______．(2,0)解析 抛物线方程为y2＝8x，∴2p＝8，即p＝4.∴焦点坐标为(2,0)．2．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x26－y23＝1的右焦点重合，则p的值为________．6解析双曲线x26－y23＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y2＝2px的焦点，所以p2＝3，p＝6.3．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.4．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8C解析抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2，所以焦点到准线的距离为4.5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12B解析如图所示，抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，由抛物线的定义知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6.题型分类深度剖析题型一求抛物线的标准方程例1根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)抛物线焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.思维启迪：待定系数法是求抛物线标准方程的主要方法，利用抛物线的定义及图形性质，求标准方程中待定的一次项系数，往往可简化解题过程．解(1)双曲线方程化为x29－y216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－p2＝－3，∴p＝6，∴方程为y2＝－12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝|m|＋p2，又(－3)2＝±2pm，∴p＝1或p＝9，故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.探究提高：抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为x2＝ay(a≠0)或y2＝ax(a≠0)，然后利用待定系数法和已知条件求解．变式训练1求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解(1) 点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3和32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x，或x2＝－94y.(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为y2＝－60x或x2＝－20y.题型二抛物线的定义及应用例2已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P与抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．思维启迪：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题．解将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6. 6>2，∴A在抛物线内部，如图．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值...