高中数学 第3章33几个三角恒等式精品课件 苏教版必修4 课件VIP专享VIP免费

3．3几个三角恒等式学习目标1.能运用两角和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换；2．推导出积化和差、和差化积公式及半角公式(不要求记忆和应用)．课堂互动讲练课前自主学案知能优化训练3.3几个三角恒等式课前自主学案温故夯基1．若角α满足条件sin2α＜0，cosα－sinα＜0，则α在第____象限．2．cos2π7cos4π7cos8π7＝___.二18知新益能1．积化和差公式sinαcosβ＝____________________，cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]，cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sinαsinβ＝________________________12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．2．和差化积公式sinα＋sinβ＝2sinα＋β2·cosα－β2，sinα－sinβ＝_______________，cosα＋cosβ＝_______________，cosα－cosβ＝－2sinα＋β2·sinα－β2.2cosα＋β2·sinα－β22cosα＋β2·cosα－β23．万能代换公式sinα＝2tanα21＋tan2α2，cosα＝____________，tanα＝2tanα21－tan2α2.1－tan2α21＋tan2α2利用万能代换公式，可以用tanα2的有理式统一表示角α的任何三角函数值，要注意使用条件．4．半角公式Sα2：sinα2＝±1－cosα2，Cα2：cosα2＝±1＋cosα2，Tα2：tanα2＝±1－cosα1＋cosα，tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.问题探究1．和差化积公式的适用条件是什么？提示：只有系数绝对值相同的同名三角函数的和或差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名三角函数后再运用公式．2．用万能公式表示sinα，cosα，tanα有何优点？提示：将三种三角函数统一用tanα2，即半角的正切表示，做到了形式上的统一．课堂互动讲练考点突破三角函数的化简三角函数的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角，统一三角函数名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一，通过观察角、函数名称、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂公式、降幂公式以及逆用公式等手段将其化简．例例11化简：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.【思路点拨】注意到π4－α＋π4＋α＝π2，由于π4－α与π4＋α互余，可将tanπ4－α化弦后再进行化简，另外由公式的代数结构特征，进行化简、约分，即可达到目的．【解】原式＝2cos2α－12sinπ4－αcosπ4－αcos2π4－α＝2cos2α－12sinπ4－αcosπ4－α＝2cos2α－12sinπ4cosα－cosπ4sinα·cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝2cos2α－cos2α－sin2αcosα－sinαcosα＋sinα＝cos2α－sin2αcos2α－sin2α＝1.【名师点评】对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3)使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．本题还可以按如下思路：2cos2α－1＝cos2α＝sinπ2－2α＝2sinπ4－αcosπ4－α.自我挑战1化简(tan10°－3)cos10°sin50°.解：法一：原式＝(tan10°－tan60°)cos10°sin50°＝sin10°cos10°－sin60°cos60°cos10°sin50°＝sin－50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.法二：原式＝(tan10°－tan60°)cos10°sin50°＝tan(10°－60°)(1＋tan10°tan60°)cos10°sin50°＝－tan50°·cos10°cos60°＋sin10°sin60°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－sin50°cos50°·cos60°－10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.三角函数的求值此类问题以填空、解答题型出现．在解决此类问题时应抓住各种题型的特点进行解题．(本题满分14分)已知|cosθ|＝35，且5π2＜θ＜3π，求sinθ2，cosθ2，tanθ2的值．例例22【规范解答】 |cosθ|＝35，5π2＜θ＜3π，∴cosθ＝－35，5π4＜θ2＜3π2.4分由cosθ＝1－2sin2θ2，有sinθ2＝－1－cosθ2【思路点拨】由角的范围去掉绝对值符号，再由半角公式即得．＝－1＋352＝－255.8分又cosθ＝2cos2θ2－1，...