第三节等比数列考纲点击1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.热点提示1.以定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.2.以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查等差、等比数列的综合应用.3.以选择、填空的形式考查等比数列的性质.等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.通项公式an＝前n项和公式Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q(q≠1)na1(q＝1)1、等比数列a1qn－1等比中项设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G＝±.性质.(1)若am，an是公比为q的等比数列的任意两项，则an＝.(2)设m，n，k，l∈N*且m＋n＝k＋l，则.(3)设等比数列{an}的公比为q，则数列{a2n}仍为等比数列，公比为.(4)设等比数列{an}的公比为q，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)仍为等比数列，公比为.abam·qn－mam·an＝ak·al.q2qm性质.(5)设等比数列{an}的公比为q，则数列{kan}(k为常数)仍为等比数列，公比为.(6)设数列{an}，{bn}为等比数列，公比分别为q1，q2，则{an·bn}也为等比数列，公比为qq1q2b2=ac是a,b,c成等比的什么条件？提示：b2=ac是a,b,c成等比的必要不充分条件， 当b=0,a,c至少有一个为零时，b2=ac成立，但a,b,c不成等比，反之，若a,b,c成等比，则必有b2=ac.2．等比数列项的取值及变化(1)等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.(2)设等比数列{an}中，a1＞0，则当公比q∈时，数列{an}为递增数列；当公比q∈时，数列{an}为递减数列．(3)设等比数列{an}中，a1＜0，则当公比q∈时，数列{an}为递增数列；当公比q∈时，数列{an}为递减数列．(4)设等比数列{an}中，若公比q＜0，则该数列各项之间的符号关系为一正一负或一负一正．(1∞，＋)(0,1)(0,1)(1∞，＋)1．设a1＝2，数列{an＋1}是以3为公比的等比数列，则a4的值为()A．80B．81C．54D．53【解析】由已知得an＋1＝(a1＋1)·qn－1，即an＋1＝3·3n－1＝3n，∴an＝3n－1，∴a4＝34－1＝80.【答案】A2．在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q的值是()A．2B．－2C．3D．－3【解析】方法一：依题意，q≠1，②÷①得1＋q3＝9，∴q3＝8，∴q＝2.∴a1(1－q3)1－q＝7①a1(1－q6)1－q＝63②方法二：(a1＋a2＋a3)·q3＝a4＋a5＋a6，而a4＋a5＋a6＝S6－S3＝56，∴7·q3＝56，q3＝8，q＝2.【答案】A3．关于数列3,9，…，729，以下结论正确的是()A．此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列B．此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列C．此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列D．此数列能构成等差数列，也能构成等比数列【解析】由等差数列和等比数列的定义验证该数列3,9，…，729可知是公差为6的等差数列也可以是公比为3的等比数列．【答案】D4．在数列{an}，{bn}中，bn是an与an＋1的等差中项，a1＝2，且对任意n∈N*，都有3an＋1－an＝0，则{bn}的通项公式bn＝______.【解析】由已知得{an}是以2为首项，以为公比的等比数列，∴an＝2·()n－1，an＋1＝2·()n，∴2bn＝an＋an＋1＝2·()n－1＋2·()n，∴bn＝.【答案】131313131343·(13)n－143·(13)n－15．设数列1，(1＋2)，…(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn＝________.【解析】由已知得数列的通项an＝＝2n－1，∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.【答案】2n＋1－n－21(1－2n)1－21(1－2n)1－2(2009年广州模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明：数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．【思路点拨】证明一个数列是等比数列常用定义法，等比数列的判定即＝q，对于本例(1)适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明．an＋1an【自主探究】(1)由题设an＋1＝4an－3n＋1得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.所以数列{an}的前n...
