1.2集合之间的关系与运算1．2.1集合之间的关系知识整合1．对于两个集合A与B，如果集合A的________一个元素都是集合B的元素，就说集合A________集合B(或集合B______集合A)，记作A______B(或B________A)，这时，也说集合A是集合B的________．2．集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)，记作A________B(或B________A)．3．如果________，并且________，那么集合A叫集合B的真子集，记作________或________．4．空集是任意一个集合的________，记作Ø________A；空集又是任意________集合的________，任意一个集合都是它本身的________．特别警示：若A⊆B，则先考虑A＝Ø的情形，在解题时容易忽略这一点而导致不必要的错误．5．一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的________一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的________一个元素都是集合A的元素，就说集合A________集合B，记作________，对于集合A、B，如果A⊆B，同时B⊆A，那么________．经验公式：有限集合的子集的个数：n个元素组成的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．答案：1.任意包含于包含⊆⊇子集2．3．集合A是集合B的子集B中至少有一个元素不属于AABBA4．子集⊆非空真子集子集5．任意任意等于A＝BA＝B名师解答我们知道，两个实数之间有相等、大于、小于等关系，那么元素与集合、集合与集合之间是否也有类似的关系？集合间的基本关系与实数间的关系可否比较？(1)从属关系()∈只能用在元素与集合之间；包含关系(⊆、)只能用在集合与集合之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合还是集合与集合之间的关系．比如表示元素与集合之间的关系有：1N∈，－1∉N,1{1},0{0}∈∈等，但不能写成0＝{0}或0⊆{0}；表示集合与集合之间的关系有：N⊆R，{1,2,3}⊆{1,2,3}，{1,2,3}{1,2,3,4}等．(2)集合与集合的关系有包含关系、相等关系．其中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含()等．用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的，但A⊆B与B⊆A是不同的．(3)集合间的基本关系与实数间的关系比较：研究对象关系及符号比较集合关系包含于(被包含)真包含于包含真包含等于不包含于符号⊆⊇＝实数关系小于等于小于大于等于大于等于不等于符号≤<≥>＝≠通过比较，相信我们能较好地理解元素与集合之间，集合与集合之间的关系，并能够找到很好的学习和记忆本节知识的方法——类比法！深入学习题型一判定集合间的关系【例1】判断下列关系是否正确．(1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；(3)Ø{0}；(4)0{0}∈；(5)Ø{0}∈；(6)Ø＝{0}；(7)Ø{0,1,2}；(8){1}{x|x≤5}．解：(1)任何一个集合是它本身的子集，因此，{a}⊆{a}，正确；(2)两个集合中的元素相同，故用“＝”号，正确；(3)空集是任何非空集合的真子集，正确；(4){0}中只有一个元素0,0{0}∈，正确；(5)Ø与{0}是两个集合，不能用∈连接；(6)Ø中没有任何元素，而{0}中有一个元素，二者不相等；(7)空集是任何非空集合的真子集，正确；(8)1<5 ，∴1{∈x|x≤5}．∴{1}{x|x≤5}，正确．由以上分析可知：(1)(2)(3)(4)(7)(8)正确，(5)(6)错误．变式训练1已知X＝{x|x＝n2＋1，nN∈＋}，Y＝{y|y＝k2－4k＋5，kN∈＋}，试判断集合X与Y的关系，并给出证明．解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y中，y＝(k－2)2＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得XY.证明如下：对于任意的元素x∈X，有x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5.由nN∈＋，知n＋2N∈＋，∴x具有y＝k2－4k＋5，kN∈＋的形式．∴x⊆Y.又k＝2时，y＝1，∴1∈Y.而1∉X，从而XY.题型二子集关系的应用【例2】满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A．3B．6C．7D．9分析：根据已知条件确定M中元素的组成情况，进而求解．答案：C解法一：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一个不同于1和2的元素，故符合条件的集合M为{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,2,3,4,5}共7个，故选C.解法二：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一个不同于1和2且等于3，或4，或5的元素，所以集合M的个数为集合{3,4,5}的...
