第2课时函数的单调性与最值1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．【思考探究】单调区间与函数定义域有何关系？提示：单调区间是定义域的子区间．增函数减函数区间D1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是()A．y＝2x＋1B．y＝3x2＋1C．y＝2xD．y＝|x|答案：C2．函数y＝x2＋2x－3(x＞0)的单调增区间是()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－3]解析：二次函数的对称轴为x＝－1，又因为二次项系数为正数，拋物线开口向上，对称轴在定义域的左侧，所以其单调增区间为(0，＋∞)．答案：A3．若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析： 函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0，∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－b2a＜0，∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．答案：B4．已知f(x)为R上的增函数，且满足f1x＞f(2)，则x的取值区间是________．答案：0，125．函数f(x)＝1x－1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．答案：121用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内任意两个值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．(4)判断：根据定义得出结论．试讨论函数f(x)＝xx2－1，x∈(－1,1)的单调性．解析：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝x2x22－1－x1x12－1＝x1－x2x1x2＋1x22－1x12－1. －1＜x1＜x2＜1，∴|x1|＜1，|x2|＜1，x1－x2＜0，x12－1＜0，x22－1＜0，|x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0，∴x1－x2x1x2＋1x22－1x12－1＜0，因此，f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，此时函数为减函数．【变式训练】1.利用单调性的定义证明函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．证明：设x1＞x2＞－1，则y1－y2＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋1. x1＞x2＞－1，x2－x1＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴x2－x1x1＋1x2＋1＜0，即y1－y2＜0，y1＜y2.∴y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性．(1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝3x2－x.解析：(1)依题意，可得当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．(2)设μ＝x2－x，则y＝3μ. μ在－∞，12上为减函数，在12，＋∞上为增函数，又 y＝3μ为增函数，∴y＝3x2－x在－∞，12上为减函数，在12，＋∞上为增函数．解析：(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象如图所示．由图可知，函数的增区间为[1,2]，(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)，(2,3]．【变式训练】2.求出下列函数的单调区间：(1)f(x)＝|x2－4x＋3|；(2)y＝x＋9x(x＞0)．(2)y′＝1－9x2＝x2－9x2＝x－3x＋3x2.令y′≥0，即(x－3)(x...
