第八节正弦定理、余弦定理的应用举例考纲解读能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．考向预测1．对解决实际问题的能力及测量问题的考查是高考的重点．2．在选择、填空、解答中都可能考查，属中档题．知识梳理1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__________叫仰角，目标视线在水平视线_________叫俯角(如图①)．上方的角下方的角2．方位角指从_____方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)正北①北偏东α°：指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．4．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比).基础自测1.若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的()A．西偏北30°B．西偏北60°C．南偏东30°D．东偏南30°[答案]C[解析]如图可知B在A的南偏东30°.2．(教材改编题)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝()A．10°B．50°C．120°D．130°[答案]D[解析]如图，由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.3．(教材改编题)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°[答案]C[解析]如图， ∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理ADsin160°＝ABsin10°，∴AD＝AB·sin160°sin10°＝sin20°sin10°＝2cos10°.4．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°[答案]B[解析]由图可知∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°， AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝12(180°－80°)＝50°. CE∥BD，∠CBD＝∠BCE＝60°，∴∠ABD＝60°－50°＝10°，∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°.5．如图，为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD＝80m，BE＝40m(A、D、E、B在一条直线上)，则隧道DE的长是______m.[答案]2007－120[解析]在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝4002＋6002－2×400×600×cos60°＝280000，∴AB＝2007，∴DE＝2007－120(m)．6．(2012·山东东营模拟)现有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°<θ<90°)且与点A相距1013海里的位置C.求该船的行驶速度(单位：海里/小时)．[解析]如图所示，AB＝402，AC＝1013，∠BAC＝θ，sinθ＝2626.由于0°<θ<90°，所以cosθ＝1－26262＝52626.由余弦定理得BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosθ＝105.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．测量距离问题[例1]要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距3km的C、D两点，并且测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．[解析]△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°∴AC＝CD＝3在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋(6＋22)2－2·3·6＋22cos75°＝5∴AB＝5答：A、B之间的距离为5km.[点评]求距离问题要注意：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方...
