第12章一次函数专题强化一一次函数与面积2018秋季数学八年级上册•HK强化角度1由一次函数求面积1．一次函数y＝ax－a＋1(a为常数且a≠0)．(1)若点(－12，3)在一次函数y＝ax－a＋1的图象上，求a的值；(2)在(1)的条件下求一次函数与两坐标轴围成的三角形面积．解：(1)把(－12，3)代入y＝ax－a＋1，得－12a－a＋1＝3，∴a＝－43；(2)函数y＝－43x＋73与x轴、y轴的交点坐标分别为(74，0)、(0，73)，∴所求面积S＝12×74×73＝4924.2．如图，已知l1：y＝4x－2与直线l2：y＝－x＋13交于点A，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，求△ABC的面积．解：过点A作AD⊥x轴，垂足为D，则BC＝13－12＝1212，解方程组y＝4x－2y＝－x＋13，得x＝3y＝10.则A点坐标为(3,10)，AD＝10，∴S△ABC＝12BC·AD＝62.5.强化角度2由面积求一次函数待定系数的值(函数表达式)3．已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3.(1)求正比例函数的解析式；(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3，∴点A的纵坐标为－2，点A的坐标为(3，－2)，∵正比例函数y＝kx经过点A，∴3k＝－2，解得k＝－23，∴正比例函数的解析式是y＝－23x；(2)∵△AOP的面积为5，点A的坐标为(3，－2)，∴OP＝5，∴点P的坐标为(5,0)或(－5,0)．4．已知一次函数的图象经过点(－2,0)，且与两坐标轴围成的三角形面积为6，求一次函数的解析式．解：设一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.由题意知：S△AOB＝6，OA＝|－2|＝2，∴S△AOB＝12OA·OB＝12×2×OB＝6.解得OB＝6.∴点B的坐标为(0,6)或(0，－6)．当A(－2,0)、B(0,6)时，设直线解析式为y＝k1x＋6.则－2k1＋6＝0，解得k1＝3.∴y＝3x＋6.当A(－2,0)、B(0，－6)时，设直线解析式为y＝k2x－6.则－2k2－6＝0，解得k2＝－3.∴y＝－3x－6.∴一次函数的解析式为y＝3x＋6或y＝－3x－6.强化角度3一次函数与面积中的动点问题5．如图，直线l：y＝kx＋6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为(－9,0)，点A的坐标为(－6,0)，点P(x，y)是第二象限内的直线l上的一个动点．(1)求k的值；(2)当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数解析式并写出自变量x的取值范围；(3)探究：当△OPA的面积为3.6时，求P的坐标；(4)若点P(x，y)是第三象限内的直线l上的一个动点，其他条件不变，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数解析式并写出自变量x的取值范围．解：(1)k＝23；(2)由(1)得y＝23x＋6，过点P作PH⊥OA于H，∴点P(x，23x＋6)，∴PH＝23x＋6，∴S△OPA＝12OA·PH＝12×6×(23x＋6)＝2x＋18，即S＝2x＋18(－9＜x＜0)；(3)P(－7.2,1.2)；(4)S△OPA＝－2x－18(x＜－9)．6．若一次函数y＝2x＋b的图象与坐标轴围成的三角形的面积是9，求b的值．解：当y＝0时，0＝2x＋b，∴x＝－b2.当x＝0时，y＝b，∴一次函数y＝2x＋b的图象与坐标轴所围成的三角形面积为12×|－b2|×|b|＝9.解得b＝±6.7．如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B(－3,3)也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．(1)求点C的坐标和直线l1的解析式；(2)已知直线l2：y＝x＋b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．解：(1)由题意得：点C的坐标为(－2,1)．设直线l1的解析式为y＝kx＋c，∵点B、C在直线l1上，∴－3k＋c＝3－2k＋c＝1，解得：k＝－2c＝－3.∴直线l1的解析式为y＝－2x－3；(2)把B的坐标代入y＝x＋b，得3＝－3＋b，解得b＝6.∴y＝x＋6，∴点E的坐标为(0,6)，∵直线y＝－2x－3与y轴交于A点，∴A的坐标为(0，－3)．∴AE＝6＋3＝9.∵B(－3,3)，∴S△ABE＝12×9×|－3|＝13.5.8．已知函数y＝(m＋1)x＋2m－6.(1)若函数图象过(－1,2)，求此函数的解析式；(2)若函数图象与直线y＝2x＋5平行，求其函数的解析式；(3)求满足(2)条件的直线与直线y＝－3x＋1的交点，并求这两条直线与y轴所围成的三角形面积．解：(1)依题意，得2＝(m＋1)(－1)＋2m－6.解得m＝9，∴此函数的解析式为y＝10x＋12；(2)依题意，得m＋1＝2，∴m＝1.∴函数的解析式为y＝2x－4；(3)联立y＝2x－4y＝－3x＋1，解得x＝1y＝－2.∴交点坐标是(1，－2)．当x＝0时，2×0－4＝－4，－3×0＋1＝1，即两条直线与y轴的交点分别为(0，－4)、(0,1)．∴所求三角形面积是12×(4＋1)×1＝52.
