全国初级中学数学竞赛九级预选赛试题参考答案VIP专享VIP免费

1/62014年全国初中数学竞赛九年级预选赛试题参考答案本卷由蕲春县濒湖晨光学校石子据外来试题影相录制并解答，正确性不保一．选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（）倍．A．a＋bbB．ba＋bC．a＋bb－aD．a＋ba－b【分析】a(v甲＋v乙)＝b(v甲－v乙)，由此可得C正确．2．方程(x2＋x－1)x＋3＝1的所有整数解共有（）个．A．5B．4C．3D．2【分析】分三种情况：①a0＝1，a≠0，x＋3＝０，x＝－3,此时x2＋x－1＝5≠0；②1n＝1，x2＋x－1＝1，x＝－2或1；③(－1)2n＝1，x2＋x－1＝－1，x＝－1或0，但x＝0时，不满足；故x＝－3,－2,－1，1，选B．3．已知A(－1，2)、B(3，2)，C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的C点共有（）个．A．3B．4C．5D．6【分析】本题参照图解的5种情况，选C．4．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数分别为x、y、z，则1x＋1y＋1z的值为（）．A．1B．23C．12D．13【分析】据平面密铺的定义，参与密铺的三个多边形各出一个内角，三内角之和为360°．即(x－2)180°x＋(y－2)180°x＋(z－2)180°x＝360°，或者先求外角再求内角，所列方程则为：180°－360°x＋180°－360°y＋180°－360°z＝360°，整理两者，均可得1x＋1y＋1z＝12；选C．5．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后原地逆时针旋转α（0°＜α＜180°），被称为一次操作．若5次操作后，发现赛车回到出发点，则α为（）．A．72°B．108°或144°C．144°D．72°或144°【分析】考虑两种情况，如下两图所示，本题选D．2/6第5题图第3题图α＝72°α＝144°xyOABαα21543二.填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．代数式x2＋4＋(12－x)2＋9的最小值是．【分析】考虑数形结合，运用勾股定理构图如下：AP＋BP≥AB＝52＋122＝13．第7题图第6题图OPFEBACD123x12－x32P’CPNMBA7．如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于P，交角为45°，若PE2＋PF2＝8，则AB＝．【分析】作OC⊥EF于C,FD⊥AB于D,连接OE、OF,设OC＝a,PD＝b,则PC＝a,OP＝2a,BF＝b,PF＝2b,CE＝CF＝a＋2b,PE＝2a＋2b，记OE＝OF＝R，在△OCE中，a2＋(a＋2b)2＝R2，则R2＝2a2＋22ab＋2b2；又PE2＋PF2＝8，即(2a＋2)2＋(2b)2＝8，所以a2＋2ab＋b2＝2，故R＝2，AB＝2R＝4．8．已知a、b为正整数，a＝b－2005，若关于x的方程x2－ax＋b＝0有正整数解，则a的最小值是．【分析】由根与系数关系知：x1＋x2＝a，x1x2＝b，又a＝b－2005，∴x1＋x2＝x1x2－2005，x1x2－x1－x2＋1＝2006，∴(x1－1)(x2－1)＝1×2006＝2×1003＝2×17×59＝34×59，(x1，x2)＝(2，2007)，(3，1004)，(35，60)，由此知a＝x1＋x2＝2009，1007，95，则最小值是95．9．双曲线y＝kx和y＝1x在第一象限内的图象如图所示，P在y＝kx的图象上，PC⊥x轴于C，交y＝1x的图象于A，PD⊥y轴于D，交y＝1x的图象于B，当P点在y＝kx的图象上运动时，下列结论：①△OBD与△OAC的面积相等；②四边形PAOB的面积保持不变；③PA＝PB；④若A是PC的中点，则B是DP的中点．其中一定正确的的序号是．3/6FEDCBA【分析】由k的几何意义知S△OBD＝S△OAC＝12；S四边形PAOB＝k－1；仅当P（k，k）时，PA＝PB；令P（2a，2b），则A（2a，b），B（a，2b），由此知B是DP的中点．故①②④均正确．xyOPABCD第9题图AB第10题图10．如图，一个圆作滚动运动，它从A位置开始，滚运与它相同的其他6个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过圈．【分析】设圆的半径为R,则总路径长是120360·2π·2R·2＋60360·2π·2R·4＝163πR，则共转了163πR÷2πR＝83（圈）．三.解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是AD、CD上两个动点，且满足AE＋CF＝2．（1）判断△BEF的形状，并说明理由；（2）记△BEF的面积为S，求S的取值范围．【解】（1）△BEF是等边三角形，理由如下： AE＋DE＝AE＋CF＝2，∴DE＝CF，又菱形ABCD的边长为2，BD＝2，∴△ABD与△BCD均为等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，BD＝BC...