高中数学 211(合情推理归纳推理)课件 新人教B版选修2-2 课件VIP专享VIP免费

2.1.1合情推理(归纳推理)（一）归纳推理：考察以下事例中的推理：（1）1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着，通过对蚕病飞研究，他发现细菌是引起蚕病的原因，据此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是有细菌引起的；（2）我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚西亚的地质结构类似，而中亚西亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油；（3）因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，五边形的内角和是180°×(5－2)，……，所以n边形的内角和是180°×(n－2)。从上述事例中可以发现，其中的推理得到的结论都是可能为真的判断，像这种前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理。在学习等差数列时，我们是这样推导首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式的：a1=a1+0d；a2=a1+1×d；a3=a1+2×d；a4=a1+3×d；…………等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n－1)d.这种根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。归纳是从特殊到一般的过程。下面，我们通过一个实例来得出归纳推理的一般步骤。例如，当你看到这样的几个关系式：10=3+7，20=3+17；30=13+17，时，你会发现：3，7，13，17，这些数字都是奇质数，偶数10，20，30都可以表示为两个奇质数的和。其它的偶数又怎样呢？它们也有类似地性质吗？显然，第一个等于两个奇质数之和的偶数是6=3+3，接下去，还有8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，16=3+13=5+11，这样下去总是对的吗？无论如何，所观察到的个别情况，可以启发我们提出一个一般性的命题：任何一个大于4的偶数都是两个奇质数之和。（二）归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真。例1．用推理的形式表示等差数列1，3，5，……，(2n－1)，……的前n项和Sn的归纳过程。解：对等差数列1，3，5，……，(2n－1)，……的前1，2，3，4，5，6项和分别进行计算：S1=1=12；S2=1+3=4=22；S3=1+3+5=9=32；S4=1+3+5+7=16=42；S5=1+3+5+7+9=25=52；S6=1+3+5+7+9+11=36=62；结论：等差数列1，3，5，…,(2n－1),…的前n项和Sn=n2.例2．设f(n)=n2+n+41，n∈N+，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，……，f(10)的值，同时作出归纳，并用n=40验证猜想是否正确。解：f(1)=12+1+41=43;f(2)=22+2+41=47;f(3)=32+3+41=53;f(4)=42+4+41=61；f(5)=52+5+41=71；f(6)=62+6+41=83；f(7)=72+7+41=97；f(8)=82+8+41=113；f(9)=92+9+41=131;f(10)=102+10+41=151;得到43，47，53，61，71，83，97，113,131，151都是质数。结论：当n取任何正整数时，f(n)=n2+n+41的值都是质数。因为当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41，所以f(40)是合数，因此上面有归纳推理得到的猜想不正确。虽然归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于数学的发现是十分有用的。观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一。(三)归纳推理与演绎推理的区别和联系归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互...