6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算第六章平面向量初步学习目标1.掌握数乘向量的定义运算及其几何意义.2.理解两个向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.重点：1.数乘向量的定义及其几何意义.2.共线向量的含义及其简单应用.难点：共线向量的含义及应用.知识梳理一、数乘向量的定义我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量.特别地，给定一个向量，3个相加的结果，是一个模为3||、方向与相同的向量，如下图所示，通常这个向量简记为3，即；3个相加（）+（）+（）的结果，是一个模为3||、方向与相反的向量，如下图所示，通常这个向量简记为，即.思考：你能根据上述实例，给出实数与任意一个向量的乘积的定义吗？一般地，给定一个实数与任意一个向量，规定它们的乘积是一个向量，记作λ，其中：（1）当λ≠0且≠时，λ的模为|λ|||，而且λ的方向如下：①当λ>0时，与的方向相同；②当λ<0时，与的方向相反.（2）当λ＝0或＝时，λ＝.上述实数λ与向量相乘的运算简称为数乘向量.由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即∥；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地，一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积，即怎样理解数乘向量？可从两个角度看数乘向量：（1）代数角度：①λ是实数，是向量，它们的积仍是向量；②的条件是或.（2）几何角度：当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的.二、两向量共线的条件数乘向量的定义说明，如果存在实数，使得，则∥.【说明】当均为非零向量时，要判断共线，只需找到实数λ，使得即可.利用数乘向量，可以方便地研究三点共线的情形.例如，当＝时，三点一定共线，而且点B为线段的中点；当＝2时，三点共线，而且为线段的一个三等分点，如图所示.一般地，如果存在实数，使得＝，则与平行且有公共点，从而三点一定共线.三、向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律.设为实数，那么（1）；（2）；（3）.特别地，我们有你能解释上述运算律的几何意义吗？以为例，解释如下：结合律的几何意义是将表示向量的有向线段先伸长或压缩至原来的μ倍，再伸长或压缩至原来的λ倍，与将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的λμ倍所得的结果相同.第一分配律的几何意义是将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的（λ+μ）倍，与将表示向量的有向线段先伸长或压缩至原来的λ倍后，再与将表示向量的有向线段伸长或压缩至原来的μ倍相加，所得到的结果相同.第二分配律的几何意义是将表示向量的有向线段先相加，再伸长或压缩至原来的λ倍，与将表示向量的有向线段都伸长或压缩至原来的λ倍后再相加所得的结果相同.四、向量的线性运算不难看出，向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算.向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项.因此，可以简单地写成.另外，由于向量的加法满足交换律与结合律，减去一个向量可以看成加上这个向量的相反向量，因此事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号，例如一、数乘向量常考题型例1已知向量与向量（如图所示），求作向量和向量.解：作法如图所示.向量的长度是向量的长度的2.5倍，方向与相反.以为起点，分别作＝2，＝3，连接，则＝-＝.训练题1.若＝（≠），则（）A.和方向相同，||＝2||B.和方向相同，||＝2||C.和方向相反，||＝2||D.和方向相反，||＝2||2.已知，为两个非零向量，则下列说法正确的是（填序号）.（1）2与的方向相同，且2的模是的模的两倍；（2）-2与5的方向相反，且-2的模是5的模的；（3）-2与2是一对相反向量；（4）-与-（-）是一对相反向量.D（1）（2）（3）二、向量的线性运算例2计算下列各式：（1）（2）（3）.【解】（1）原式.（2）原式.（3）原式＝.◆向量线性运算的方法向量的数乘运...
