三垂线定理AaOP这是偶然的巧合，还是必然？EAEOD⊥MDBOAcos·cos=cos=AOB∠=AOD∠=DOB∠AaOPPO⊥aAaOP如图：已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求证：a⊥PO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线定理三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件思考APOaαPAOaα三三三三三三三三三三三三②三三三三PAOaα①三三三三③三三三三PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直PCBAO例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点PA⊥平面ABC∴PC是平面ABC的斜线∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得PC⊥BCM例2直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形O为BD的中点∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD同理，ACBD⊥AC是PC在ABCD上的射影PC⊥BDPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:∵PB=PCM是BC的中点PMBC⊥∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1同理可证，A1C⊥B1D1由三垂线定理知A1C⊥BC1PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾PAOaαbcde三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三三①三三三三②三三三三回顾思考三三a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b例如：当b⊥时，b⊥OA但b不垂直于OP回顾思考×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑷若a是平面α的斜线,bα,∥直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）练习：判断下列命题是否正确：××PAOaαl⑷若a是平面α的斜线,bα,∥直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。作业：25页3、4、6.谢谢指导！
