2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线.(2)画法:【思考】定义中的“任何”是否多余,能否把“任何”去掉?提示:(1)“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线,或者说找不到一个平面同时经过这两条直线.(2)定义中“任何”是不可缺少的关键词,不能误解为“不同在某一平面内”.如图所示,虽然有a⊂α,bβ,⊂即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.2.空间两条直线的位置关系3.公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行符号语言直线a,b,c,a∥b,b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行4.等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O′A′,OB∥O′B′⇒∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°作用证明两个角相等或互补5.异面直线所成的角(或夹角)(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b,则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).(2)范围:0°<θ≤90°.特别地,当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b.【思考】(1)在异面直线所成角的定义中,角的大小与点O的位置有关系吗?提示:根据等角定理可知,a′与b′所成角的大小与点O的位置无关.但是为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等).(2)研究范围推广到空间后,直线与直线垂直的含义有变化吗?有什么变化?提示:有变化.空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种情况.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.()(3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.()(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直.()提示:(1)×.没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线.(2)×.在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,例如在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB,AD都与棱AA′垂直,但是这两条直线相交.(3)×.若a,b是异面直线,a,c是异面直线,那么b,c可以平行,可以相交,可以异面.(4)√.由异面直线所成角的定义或等角定理都可得出,该命题正确.2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的是()A.ABB.BB1C.DD1D.B1C1【解析】选D.AB与AA1相交;BB1与AA1平行;DD1与AA1平行;B1C1与AA1异面.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________.【解析】因为B1C1∥BC,所以异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB=90°-25°=65°.答案:65°类型一空间两条直线位置关系的确定【典例】1.(2019·淮南高一检测)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是()A.l至少与l1,l2中的一条相交B.l与l1,l2都不相交C.l与l1,l2都相交D.l至多与l1,l2中的一条相交2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,CC1的中点,以下四个结论:①直线DM与CC1是相交直线;②直线AM与NB是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上).3.已知a,b,c是三条直线,且a与b异面,b与c异面,试判断a与c的位置关系,并画图说明.【思维·引】1.一方面注意l和l1,l2都平行,可推出和l1,l2平行,另一方面注意画图举反例说明有关结论不正确.2.利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断.3.选择恰当的平面作为衬托,画出可能出现的情况.【解析】1.选A.假如l和l1,l2都不相交.因为l和l1,l2都共面,所以l和l1,l2都平行,所以l1∥l2,l1和l2共面,这样便不符合已知的l1和l2异面,所以A选项正确,B选项错误.C错误.如图1所示,l与l2相交,l∥l1.D错误.如图2所示,l与l1和l2都相交.2.①中直线DM与直线CC1在同一平面内,它们不平行,必相交.故结论正确.③④中的两条直线既不相交也不平行,即均为异面直线,故结论正确.②中AM与BN是异面直线,故②不正确.故填①③④.答案:①③④3.直线a与c的位置关系有三种,如图所示.直线a与c可能平行(如图①所示),也可能相交(如图②所示),还...
