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学习好资料欢迎下载2000-2012全国高中数学联赛分类汇编(初等数论)1、(2005一试6)记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221iTaaaaaMTi将M中的元素按从大到小的顺序排列,则第2005个数是()A.43273767575B.43272767575C.43274707171D.43273707171【答案】C【解析】用pkaaa][21表示k位p进制数,将集合M中的每个数乘以47,得32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.iiMaaaaaTiaaaaaTiM中的最大数为107]2400[]6666[。在十进制数中,从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而10]396[7]1104[将此数除以47,便得M中的数.74707171432故选C。2、(2006一试6)数码1232006,,,,aaaa中有奇数个9的2007位十进制数12320062aaaa的个数为()A.200620061(108)2B.200620061(108)2C.20062006108D.20062006108【答案】B【解析】出现奇数个9的十进制数个数有12005320032005200620062006999ACCC。又由于20062006200620060(91)9kkkC以及20062006200620060(91)(1)9kkkkC,从而得12005320032005200620062006200620061999(108)2ACCC。3、(2008一试5)方程组0,0,0xyzxyzzxyyzxzy的有理数解(,,)xyz的个数为()。(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B【解析】若0z,则00.xyxyy,解得00xy,或11.xy,若0z,则由0xyzz得1xy.①学习好资料欢迎下载由0xyz得zxy.②将②式代入0xyyzxzy得220xyxyy.③由①式得1xy,代入③式化简得3(1)(1)0yyy.易知310yy无有理数根,故1y,由①式得1x,由②式得0z,与0z矛盾,故该方程组共有两组有理数解0,0,0xyz或1,1,0.xyz故选B。4、(2004一试10).设p是给定的奇质数,正整数k使得k2-pk也是一个正整数,则k=【答案】14(p+1)2【解析】设k2-pk=n,则(k-p2)2-n2=p24,(2k-p+2n)(2k-p-2n)=p2,k=14(p+1)2.5、(2005一试12)如果自然数a的各位数字之和等于7,那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321aaa若,2005na则na5.【答案】52000【解析】 方程mxxxk21的非负整数解的个数为mkmC1.而使)2(0,11ixxi的整数解个数为12mkmC.现取7m,可知,k位“吉祥数”的个数为.)(65kCkP 2005是形如abc2的数中最小的一个“吉祥数”,且,7)2(,1)1(6766CPCP,28)3(68CP对于四位“吉祥数”abc1,其个数为满足6cba的非负整数解个数,即286136C个。 2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”,即.200565a从而.3255,65nn又,210)5(,84)4(61069CPCP而51.330)(kkP∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是:70000,61000,60100,60010,60001,52000.∴第325个“吉祥数”是52000,即.520005na6、(2006一试11)方程20062420042005(1)(1)2006xxxxx的实数解的个数为.【答案】1【解析】200520044220062006)1)(1(xxxxx24200420051()(1)2006xxxxx35200520052003200111112006xxxxxxxx学习好资料欢迎下载32005320051112006210032006xxxxxx要使等号成立,必须3200532005111,,,xxxxxx,即1x。但是0x时,不满足原方程。所以1x是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为1。7、(2010一试8)方程2010zyx满足zyx的正整数解(x,y,z)的个数是.【答案】336675【解析】首先易知2010zyx的正整数解的个数为1004200922009C.把2010zyx满足zyx的正整数解分为三类:(1)zyx,,均相等的正整数解的个数显然为1;(2)zyx,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003;(3)设zyx,,两两均不相等的正整数解为k.易知100420096100331k,所以110033100420096k200410052006123200910052006,即3356713343351003k.从而满足zyx的正整数解的个数为33667533567110031.8、(2011一试8)已知naC)95,,2,1(2162003200nnnn,则数列}{na中整数项的个数为.【答案】15【解析】naC65400320020023nnn.要使)951(nan为整数,必有65400,3200nn均为整数,从而4|6n.当n2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时,3200n和65400n均为非负整数,所以na为整数,共有14个.当86n时,86aC5388620023,在C!114!86!20086200中,!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432,同理可计算得!86中因数2的个数为82,!114中因数2的个数为110,所以C86200中因数2的个数为511082197,故86a是整数.当...

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