第七节圆锥曲线的综合问题(理)重点难点重点：直线与圆锥曲线位置关系的判定，弦长与距离的求法难点：直线与圆锥曲线相交弦长与中点弦问题知识归纳1．直线与圆、椭圆的方程联立后，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，可据判别式Δ来讨论交点个数.相交Δ>0直线与圆锥曲线有两个交点相切Δ＝0直线与圆锥曲线有一个切点相离Δ<0直线与圆锥曲线无公共点2.直线与圆锥曲线相交弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时，通常作如下变形|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2，使用韦达定理即可解决．(2)当斜率k不存在时，直线为x＝m的形式，可直接代入求出交点的纵坐标y1、y2得弦长|y1－y2|.误区警示1．如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存在的情形．为了避免讨论，过焦点F(c,0)的直线，可设为x＝my＋c.2．解方程组Ax＋By＋C＝0fx，y＝0时，若消去y，得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，这时要考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点．上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为0，即只能得到一个一次方程．一、向量法向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量与解析几何保持着天然的联系．通过向量的坐标可以把解析几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问题．二、点差法涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦问题)时，常用根与系数的关系及点差法求解[例1]P(1,1)为椭圆x24＋y22＝1内的一定点，过P点引一弦，与椭圆相交于A、B两点，且P恰好为弦AB的中点，如图所示，求弦AB所在的直线方程及弦AB的长度．解析：设弦AB所在的直线方程为y－1＝k(x－1)，A、B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x21＋2y21＝4，①x22＋2y22＝4.②①－②得：(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0. P(1,1)为弦AB的中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.∴k＝y1－y2x1－x2＝－12.∴所求直线的方程为y－1＝－12(x－1)．即x＋2y－3＝0.将其代入椭圆方程整理得，6y2－12y＋5＝0.根据弦长公式，有|AB|＝1＋－22·122－4×6×56＝303.点评：1.点差法的一个基本步骤是：点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在圆锥曲线f(x·y)＝0上，∴f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0，两式相减f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0，然后变形构造出y2－y1x2－x1及x1＋x2和y1＋y2，再结合已知条件求解．2．中点弦问题除了用点差法外，求弦长时应注意是否过焦点，遇到AO⊥BO的情况，常用AO→·BO→＝x1x2＋y1y2＝0解决，有时中点弦问题还可以利用对称、特例法解决．三、要重视解题过程中思想方法的提炼及解题规律的总结1．方程思想解析几何题大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此直线与圆锥曲线相交的弦长问题常归纳为对方程解的讨论．利用韦达定理进行整体处理，以简化解题运算量．2．函数思想对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a、b、c、e、p之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效．3．坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练．4．对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，所以可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决．5．数形结合解析几何是数形结合的曲范，解决解析几何问题应充分利用图形的直观和曲线的几何性质，才能简化解答过程．6．参数思想一些解析几何问题，在解题活动中可先引入适当的参数(如斜率k，点的坐标，圆锥曲线方程中的系数等)，把所研究问题转化为参数的函数或不等式、方程等来解决．[例1]已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线.l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．直线与抛物线的位置关系解析：(1)y′＝2x＋1....
