高考数学总复习第五单元 第四节 简单的三角恒等计算精品课件VIP专享VIP免费

第四节简单的三角恒等计算由三角变换求值或求角已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜.(1)求tan2α的值；(2)求β的值．7114132分析(1)先求sinα，再求tanα，最后由二倍角公式求tan2α.(2)先求角β的余弦值，再求角．解(1)4738341342tan1tan22tan3417734cossintan734711cos1sin,20,71cos2222于是得由aaa(2)由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.又 cos(α－β)＝，∴由β＝α－(α－β)得，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)∴β＝.221413.143314131cos1sin22,2114337341413713规律总结三角恒等变换是实现角与角，三角函数与三角函数，三角函数式之间转化的主要运算．求值或求角正需要这种有效变化，因此，求值或求角的解题途径主要是，角的变化、函数名称的变化和三角函数式的变化．变式训练1求0000020cos180cos20cos10tan3150sin的值210sin210sin210sin220cos120cos180cos20cos10tan3150sin,10sin210sin280cos20cos180cos,110cos80sin10cos40cos40sin210cos40sin250sin10cos10sin310cos50sin10tan3150sin0202020000000202000000000000000【解析】由三角变换化简三角函数式已知tanα，tanβ是方程x2－4x－2＝0的两个实根，化简：cos2(α＋β)＋2sin(α＋β)cos(α＋β)－3sin2(α＋β)．分析先由已知条件找到角α，β满足的关系式，再根据该关系式与要化简式子的联系，实施恒等变换解由已知，有tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝－2，53tan1tan3tan21sincossin3sin2cossin3cossin2cos34tantan1tantantan22222222规律总结该题目是一个有条件的化简问题．化简该三角函数式时，需要借助已知条件，因此，首先要根据已知条件，找到两个角的关系，发现两角和的正切可求．由此想到，将已知式子向正切方向转化，最后使式子得以化简，而且求得值．变式训练2化简AAAA4cos2cos434cos2cos43【解析】AAAAAAAAAAA422222222222tancossin2cos12cos1A2cos22cos21A2cos22cos21A2cos22cos42A2cos22cos421A2cos22cos431A2cos22cos43原式由三角变换证明三角恒等式(1)求证：sintansintansin)sin1(tansin)sin1(tan(2)已知5sinα＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tanβ＝0分析(1)两边分别切化弦，通过三角变换进行化简．(2)从角入手，进行角的保值变换，出现欲证等式中的角，再由三角变换进行化简．证明(1)2tan12sin2cos2sin22cos2sin22cos22cos2sin2cossin1cossin1sin)sin1(cossinsin)sin1(cossin22左边2tan12cos2sin22cos2sincos1sincossinsincossin2右边∴左边＝右边，∴原等式成立．(2)把5sinα＝3sin(α－2β)化成5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，得5sin(α－β)cosβ＋5cos(α－β)sinβ＝3sin(α－β)cosβ－3cos(α－β)sinβ，移项合并得2sin(α－β)cosβ＋8cos(α－β)sinβ＝0，∴tan(α－β)＋4tanβ＝0.规律总结(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一，或变更论证；(2)常用方法有：定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等；(3)条件恒等式的证明，需要充分依据已知条件，观察条件与结论中角、名称、次数的差异，从而选择不同的公式，进行三角变换．变式训练3求证：xxxx4cos14cos32tan1tan22【证明】右边左边xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx4cos12cos324cos14cos1244cos12cos444cos12s...