2.3.2平面与平面垂直的判定1.了解二面角及其平面角的概念.2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法.3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直的问题.121.二面角概念平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面图示记法棱为l,面分别为α,β的二面角记为α-l-β.如图所示,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-l-Q12二面角的平面角文字在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角图示符号OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围0°≤∠AOB≤180°规定二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角12名师点拨1.二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的,与选择棱上的点的位置无关.2.构成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直.12【做一做1-1】在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是()A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂βB.AO⊥l,BO⊥lC.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂βD.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β解析:根据二面角的平面角的定义可知选D项.答案:D12【做一做1-2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不作辅助线,写出二面角A1-AB-D的一个平面角为.解析:因为AD⊂平面ABD,A1A⊂平面A1AB,AD⊥AB,AA1⊥AB,所以∠A1AD是二面角A1-AB-D的一个平面角,同理∠B1BC也是它的一个平面角.答案:∠A1AD(或∠B1BC)122.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示.12(3)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α,l⊂β⇒α⊥β作用判断两个平面垂直12名师点拨平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.12【做一做2-1】在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面ABCD垂直的面的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:与平面ABCD垂直的平面有:平面ABB1A1,平面ADD1A1,平面BCC1B1,平面CDD1C1.答案:D12【做一做2-2】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD⊥平面BDD1B1.证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.121.理解二面角及其平面角剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平面图形转化的思想.(2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.(3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角相等,相邻的两个二面角互补.122.处理翻折问题的关键剖析:处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生变化,那么发生了怎样的变化,还有哪些没有发生变化,切不可混淆不清.例如:在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2,如图①.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B,A1P,EP,如图②.下面探讨平面BA1E是否与平面BEP垂直.12根据图①,由平面几何的知识,可得EF⊥AE,EF⊥BE.在图②中,这两个位置关系没有变化,而点A,B,E的相对位置关系发生了变化,翻折前这三点共线,...
