1/14全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线一.填空题(共1小题)1.(2015秋?宿迁校级月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD:DC=3:2,点D到AB的距离为6,则BC的长是.二.解答题(共10小题)2.(2010秋?涵江区期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC,AD平分∠BAC交BC于D,求证:AB=AC+CD.3.如图,AD是△ABC中BC边上的中线,求证:AD<(AB+AC).4.(2013秋?藁城市校级期末)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线,MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时,求证:DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时,求证:DE=AD﹣BE;(3)当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时,线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系?请你直接写出这个数量关系,不要证明.2/145.已知△ABC中,∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD、CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并说明理由.6.(2012秋?西城区校级期中)已知:如图,△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,F是CD中点,连BF交AC于点E,∠ABE+∠CEB=180°,判断BD与CE的数量关系,并证明你的结论.7.(2010秋?丰台区期末)已知:如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是△ABC内的一点,且AD=AC,若∠DAC=30°,试探究BD与CD的数量关系并加以证明.8.已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点(不与A、B重合),作∠DMN=60°,交∠DBA外角平分线于点N.(1)求证:DM=MN;(2)若点M在AB的延长线上,其余条件不变,结论“DM=MN”是否依然成立?请你画出图形并证明你的结论.3/149.(2015春?闵行区期末)如图所示,在正方形ABCD中,M是CD的中点,E是CD上一点,且∠BAE=2∠DAM.求证:AE=BC+CE.10.已知:如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE.求证:BE+DF=AE.11.(2010秋?巢湖期中)如图,CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE.4/14全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线参考答案与试题解析一.填空题(共1小题)1.(2015秋?宿迁校级月考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD:DC=3:2,点D到AB的距离为6,则BC的长是15.【考点】角平分线的性质.【专题】计算题.【分析】作DE⊥AB于E,如图,则DE=6,根据角平分线定理得到DC=DE=6,再由BD:DC=3:2可计算出BD=9,然后利用BC=BD+DC进行计算即可.【解答】解:作DE⊥AB于E,如图,则DE=6, AD平分∠BAC,∴DC=DE=6, BD:DC=3:2,∴BD=×6=9,∴BC=BD+DC=9+6=15.故答案为15.【点评】本题考查了角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.二.解答题(共10小题)2.(2010秋?涵江区期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC,AD平分∠BAC交BC于D,求证:AB=AC+CD.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】利用已知条件,求得∠B=∠E,∠2=∠1,AD=AD,得出△ABD≌△AED(AAS),∴AE=AB. AE=AC+CE=AC+CD,∴AB=AC+CD.【解答】证法一:如答图所示,延长AC,到E使CE=CD,连接DE. ∠ACB=90°,AC=BC,CE=CD,∴∠B=∠CAB=(180°﹣∠ACB)=45°,∠E=∠CDE=45°,∴∠B=∠E.5/14 AD平分∠BAC,∴∠1=∠2在△ABD和△AED中,,∴△ABD≌△AED(AAS).∴AE=AB. AE=AC+CE=AC+CD,∴AB=AC+CD.证法二:如答图所示,在AB上截取AE=AC,连接DE, AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.在△ACD和△AED中,,∴△ACD≌△AED(SAS).∴∠AED=∠C=90,CD=ED,又 AC=BC,∴∠B=45°.∴∠EDB=∠B=45°.∴DE=BE,∴CD=BE. AB=AE+BE,∴AB=AC+CD.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质;通过SAS的条件证明三角形全等,利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系.3.如图,AD是△ABC中BC边上的中线,求证:AD<(AB+AC).【考点】全等三角形的判定与性质;三角形三边关系.【专题】计算题.【分析】可延长AD到E,使AD=DE,连BE,则△ACD≌△EBD得BE=AC,进而在△ABE中利用三角形三边关系,证之.【解答】证明:如图延长AD至E,使AD=DE,连接BE.在△ACD和△EBD中:6/14∴△ACD≌△EBD(SAS),∴AC=BE...