1/14全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线一．填空题（共1小题）1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是．二．解答题（共10小题）2．（2010秋?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．4．（2013秋?藁城市校级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．2/145．已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．6．（2012秋?西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论．7．（2010秋?丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N．（1）求证：DM=MN；（2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立？请你画出图形并证明你的结论．3/149．（2015春?闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．10．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．11．（2010秋?巢湖期中）如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．4/14全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是15．【考点】角平分线的性质．【专题】计算题．【分析】作DE⊥AB于E，如图，则DE=6，根据角平分线定理得到DC=DE=6，再由BD：DC=3：2可计算出BD=9，然后利用BC=BD+DC进行计算即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，则DE=6， AD平分∠BAC，∴DC=DE=6， BD：DC=3：2，∴BD=×6=9，∴BC=BD+DC=9+6=15．故答案为15．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．二．解答题（共10小题）2．（2010秋?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB． AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．【解答】证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE． ∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，∴∠B=∠CAB=（180°﹣∠ACB）=45°，∠E=∠CDE=45°，∴∠B=∠E．5/14 AD平分∠BAC，∴∠1=∠2在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴AE=AB． AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．证法二：如答图所示，在AB上截取AE=AC，连接DE， AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED=∠C=90，CD=ED，又 AC=BC，∴∠B=45°．∴∠EDB=∠B=45°．∴DE=BE，∴CD=BE． AB=AE+BE，∴AB=AC+CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之．【解答】证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE．在△ACD和△EBD中：6/14∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=BE...
