1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确解析： a·b＝2×(－6)＋4×9＋6×(－4)＝0，∴a⊥b，从而l1⊥l2.答案：B2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析：cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝11·2＝22，即〈m，n〉＝45°，其补角为135°，∴两平面所成的二面角为45°或180°－45°＝135°.答案：C3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为________．解析：如图，建立直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴1DA�＝(1,0,1)，DB�＝(1,1,0)，1BC�＝(－1,0,1)．设n＝(x，y，z)为平面A1BD的法向量，则n·1DA�＝0n·DB�＝0，∴x＋z＝0x＋y＝0.取n＝(1，－1，－1)，设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，1BC�〉|＝|n·1BC�||n||1BC�|＝22·3＝63.∴cosθ＝33.答案：334．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．(1)由于1BC�＝(0，－2，－2)，1AB�＝(－2,2，－2)，所以1BC�·1AB�＝0－4＋4＝0，因此1BC�⊥1AB�，故BC1⊥AB1.(2)取A1C的中点E，连结DE，由于E(1,0,1)，所以ED�＝(0,1,1)，又1BC�＝(0，－2，－2)，所以ED�＝－121BC�，又ED和BC1不共线，则ED∥BC1，又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.1．两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有个，它们是共线向量．无数无数2．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔u1＝λu2⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2；如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔.若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔.(3)平面α的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．若α∥β，u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)；若α⊥β，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2a1a2＋b1b2＋c1c2＝03．利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a、b分别是两异面直线l1、l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a，b〉范围(0，π2]0≤〈a，b〉≤π求法cosθ＝|cos〈a，b〉|＝cos〈a，b〉＝|a·b||a||b|a·b|a||b|(2)求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ.则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.|a·b||a||b|(3)求二面角的大小(Ⅰ)若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB�、CD�的夹角(如图①所示)．(Ⅱ)设n1、n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图②③)．考点一利用空间向量证明平行、垂直关系如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.[自主解答]以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．(1) PC⊥平面ABCD.∴∠PBC为PB与平面ABCD的夹角，∴∠PBC＝30°， PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，∴D(0,1,0)，B(23，0,0)．A(23，4,0)，P(0,...
