第三节圆的方程1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为，半径为的圆．(a，b)r2．圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为－D2，－E2，半径为12D2＋E2－4F的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点－D2，－E2；(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．(1)圆的一般方程突出了圆的代数形式上的特点，其特点是：①x2，y2的系数相同且均为1(不为1的可化为1)；②不含xy项．(2)求圆的一般方程需三个条件，以便确定D、E、F三个变量．确定圆的方程的方法(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准方程，一般步骤为：①根据题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；③解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求方程．求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量．(2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由三个条件得到D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组，求出参数D、E、F的值即可．3．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.＝＞＜1．(2009年重庆卷)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y－2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1【解析】设圆的圆心C(0，b)则(0－1)2＋(2－b)2＝1，∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.【答案】A2．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A.14＜m＜1B．m＜14或m＞1C．m＜14D．m＞1【解析】由D2＋E2－4F＝16m2＋4－20m＞0，解得：m＞1或m＜14，故选B.【答案】B3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【解析】设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r. 圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a. |CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，∴a＝1，b＝1.∴r＝2，∴方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.【答案】C4．(2009年广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是________．【解析】将直线x＋y＝6化为x＋y－6＝0，圆的半径r＝|2－1－6|1＋1＝52，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝252.【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝2525．圆心在y轴上，半径为5且过点A(3，－4)的圆的方程为________________________．【解析】设圆心为(0，b)，则(0－3)2＋(b＋4)2＝5，即b2＋8b＝0，则b＝0或b＝－8.故圆的方程为：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.【答案】x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25求圆的方程根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．【思路点拨】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．①通过研究圆的性质而求出圆的基本量；②设出圆的方程，用待定系数法求解．【解析】(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意列出方程组a2＋b2＝r2(a－1)2＋(b－1)2＝r22a＋3b＋1＝0，解之得a＝4b＝－3r2＝25∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.(2)方法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有b＝－4a(3－a)2＋(－2－b)2＝r2|a＋b－1|2＝r解得a＝1，b＝－4，r＝22.∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r＝22，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(3)方法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则1＋...
