6.3平面向量线性运算的应用第六章平面向量初步学习目标1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.重点：1.向量在平面几何中的应用.2.向量在物理中的应用.难点：向量在几何中的灵活运用.知识梳理（1）证明线段平行问题，常用向量平行（共线）的等价条件：a∥b（b≠0）x1y2-x2y1＝0.（2）证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥bx1x2+y1y2＝0.（3）求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式|a|＝.一、向量在平面几何中的应用ab=0a＝λb√𝑥2+𝑦2向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象.如：位移、力、速度、加速度等.二、向量在物理中的应用如果两个力F1，F2的合力为零，则F1+F2＝0，也就是说，这两个力互为相反向量.如果三个力F1，F2，F3的合力为零，则F1+F2+F3＝0，也就是说，其中任意两个力的合力是另外一个力的相反向量.例1一向量在平面几何中的应用<1>利用向量证明常考题型在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且＝，＝，AD与BE交于R，证明：＝.【解题提示】根据A，D，R三点共线，可得＝+（1-λ）.根据B，E，R三点共线，可得＝+（1-），所以由此解得λ，μ的值，进而证明＝.【证明】由A，D，R三点共线，可得＝+（1-λ）＝+（1-λ）.由B，E，R三点共线，可得＝+（1-μ）＝+（1-）.∴∴∴＝+，∴＝-＝-.故＝-＝-＝-＝＝.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）巧转化：建立几何元素与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）找关系：通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）要还原：把运算结果“翻译”成几何关系，即把向量问题还原为几何问题.解题归纳已知△ABC，AD为中线，求证：AD2＝（AB2+AC2）-.变式训练【证明】以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，如图，设A（a，b），B（0，0），C（c，0），，则||2＝+（0-b）2＝-ac+a2+b2，（||2+||2）-＝［a2+b2+（c-a）2+b2］-＝a2+b2-ac+，从而||2＝（||2+||2）-，即AD2＝（AB2+AC2）-【解题提示】根据题意画出图形，利用向量共线定理求出||＝||，判断△ABC是等腰三角形.例2<2>利用向量判断几何图形的形状［2019·云南玉溪一中高二月考］已知△ABC满足-＝（其中k是常数），则△ABC的形状一定是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】△ABC中，-＝（其中k是非零常数），如图所示.∴-＝，∴+＝+，∴(+)＝(+)，又，不共线，∴+＝k+＝0，∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形.故选C.【答案】C用向量判断几何图形形状的步骤（1）由已知条件建立向量的线性关系、向量的模、向量共线等之间的关系；（2）转化为几何图形中的边或角之间的关系判断.解题归纳［2019·湖南醴陵高一联考］若O是△ABC所在平面内一点，且满足|-|＝|+-|，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形B变式训练1.如图，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD各边的中点，若|+|＝|+|，则四边形EFGH必是（）A.正方形B.梯形C.菱形D.矩形变式训练2.C向量共线总结（1）ab∥，b≠0λR∈，a＝λb.（2）＝＝+.（3）若＝+，则A，B，C三点共线m+n＝1.（4）A，B，C三点共线λR∈，＝.解题归纳例3<3>向量在三角形中的应用已知点O是△ABC内部一点，并且满足++＝0，△OAC的面积为S1，△ABC的面积为S2，则＝（）A.B.C.D.【解析】 +3+＝0，∴2（+）＝-3（+）.设AC的中点为M，BC的中点为N，则＝，∴MN为△ABC的中位线，且＝，∴SOAC△＝2SOMC△＝2×SCMN△＝×＝SABC△，即＝.故选A.【答案】AP是△ABC所在平面上的一点，满足++＝，若SABC△＝6，则△PAB的面积为（）A.2B.3C.4D.8A变式训练1.已知O为正三角形ABC内一点，且满足++（1+λ）＝0，若△OAB的面积与△OAC面积的比值为3，则λ的值为（）A.B.1C.2D.32.A二向量在物理中的应用例4［2019·江苏宿迁高一期末］已知河水自西向东流，流速为|v0|＝1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.（1）若此人朝...
