高三数学用向量法求空间角 课件 人教版 课件VIP免费

㈠空间角的概念//bb//a,aab1、异面直线所成角的定义直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。2,0异面直线所成角的范围是。2．直线和平面所成角的定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°角。由定义知，直线与平面所成的角θ[0∈，]2二面角的范围是[0，π]3．二面角的大小：二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。例1：如右图，直三棱柱A1B1C1─ABC中，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值A1C1F1B1D1ABC··解：如图建立空间直角坐标系，取BC=CA=CC1=1xyz则B（1，0，0）；A（0，1，0）；11111(,,1);(0,,1)222DF1BD�11(,,1);221(0,,1);2AF�11coscos,BDAF�1030㈡.典型例题所以直线BD1与AF1所成的角的余弦值1030注：coscos,ab由向量知识知两条异面直线所成的角θ，与这两条直线的两个方向向量的夹角有如下关系（其中分别是直线上的向量）,abba,baba例2：已知：如图，在长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，点E是CC1的中点。求：ED与平面A1B1C所成角的大小B1BA1D1C1CDEA解：如图，建立空间直角坐标系，xyz由题意知：11BA=（3，0，0）；1(0,3,4)BC�A（0，0，0）；B（3，0，0）；C（3，3，0）；D（0，3，0）；B1（3，0，4）；A1（0，0，4）；E（3，3，2）。设平面A1B1C的法向量为=（x，y，z）则n�zyxzyxCBnBAn4300430300111令z=3，则=（0，4，3），n�又因为=（3，0，2）；DEsin=|cos<>|=,DEn�65136nDEnDE即ED与平面A1B1C所成角的大小为arcsin65136∴=arcsin65136n�注：如图，设平面β的法向量为，直线AO与平面所成的角为；βθoAn�nOAnOAnOA,coscossin则B1BA1D1C1CDEAxyz设DE与面A1B1C所成角为，则例3：在例2中，求:二面角B1―A1C―C1的大小。解：如图，建立空间直角坐标系，xyz由题意知：由例2知面A1B1C的法向量为=（0，4，3）1n下面我们来求面A1C1C的法向量2n设=（x，y，z），2n由于=（3，3，0）,=（0，0，4）11CA1CC0012112CCnCAn于是04033zyx0zyx令y=－1，则x=1，2n∴=（1，－1，0）212121,cosnnnnnn于是522254又 所求二面角为<>的补角，21,nn故二面角B1―A1C―C1的大小为arccos522B1BA1D1C1CDEA如例3中，易见是面A1C1C的法向量；11DB注意：在求平面法向量过程中，若根据已知条件很容易找出平面的法向量时，就无需列方程组求了。xyzB1BA1D1C1CDEAcos<>=21,nn2121nnnn如图1中，cosθ=图2中,cosθ=cos<>=21,nn2121nnnn评注：用向量法求二面角的大小：,如图1，设平面的法向量分别是l,,21nn则求二面角的大小可以转化为求,,21nn的夹角或其补角。图1θ2n1nl图2θ2n1nl四.练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OABC∥，∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：⑴OS与面SAB所成角α⑵二面角B－AS－O的大小⑶异面直线SA和OB所成的角则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；020zxyx令x=1，则y=1，z=2；从而)2,1,1(n36612,cossinnOSnOSnOS36arcsin⑴设面SAB的法向量),,(zyxnSAnABn,显然有OABCSxyzOBSAOBSAOBSA⑶,cos.510252所以直线SA与OB所成角大小为510arccos⑵.由⑴知面SAB的法向量=（1，1，2）1n又 OC⊥面AOS，OC∴是面AOS的法向量，令)0,1,0(2OCn则有61,cos212121nnnnnn由于所求二面角的大小等于21,nn66ar...