空间中的平行与垂直空间中的平行与垂直考点串串讲1．直线和平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点(3)直线和平面平行——没有公共点可看作是按公共点的个数分类；如果按直线是否在平面外分类，则可分为：直线在平面内直线在平面外直线和平面相交直线和平面平行注意①证明直线在平面内并不用“有无数个公共点”，而直接用基本性质1，即只须找两个公共点即可．②直线a和平面α相交，记作a∩α＝A.直线a和平面α平行，记作a∥α.2．直线和平面平行的判定(1)定义法：一条直线和一个平面没有公共点，称这条直线和这个平面平行．用定义法判定具有不可操作性．这是因为直线和平面都具有延伸性，无公共点无法验证．(2)定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．定理说明：以后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行就可以判定这条已知直线和这个平面平行了．用符号表示为：a∥b，a⊄α，b⊂α⇒a∥α.从推理形式中可以看出：用这个定理判定直线a与平面α平行，必须具备三个条件，这三个条件缺一不可．简单地可说成三推一．同时定理也可简单地表述为：线线平行⇒线面平行．3．直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.也可简单地表述为：线面平行⇒线线平行．①直线和平面平行的性质定理可以看作是直线和直线平行的判定定理．也就是说，以后要证明线线平行时，可考虑线面平行．在应用时，一定要注意定理中的线线究竟是指哪两条直线．②在理解定理时，不要误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”．这是因为一条直线和一个平面平行，只能说明这条直线和这个平面无公共点，也即这条直线和平面内的任意一条直线都无公共点．而它们显然有平行、异面两种可能．因此只能说“一条直线平行于一个平面，这条直线平行于这个平面内的无数条直线”．③推理形式中必须具备三个条件，缺一不可．4．直线和平面垂直(1)定义：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．注意①当l⊥α时，直线l和α一定相交．这是因为如果l∥α或l⊂α时，直线l不可能与平面α内的任意一条直线都垂直．直线和平面垂直时，唯一的交点称为垂足．②若α是任一平面，P为空间任意一点，则过点P有且只有一条直线l是平面α的垂线；若l是任一直线，点P是空间任意一点，则过P点有且只有一个平面α是l的垂面．③定义中的“任意一条”区别于“无数条”．“任意一条”就是平面内的所有直线．“无数条”并不能指代平面内的所有直线．(2)直线和平面垂直的判定①定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任意一条直线．②判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．③判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．注意定义法判定线面垂直具有不可操作性，但结论很重要．即“线面垂直，则线线垂直”，这是今后判定两条直线垂直时常用的一种方法．判定定理2中两条相交直线是关键，否则易出现下面两种情形的命题．其一：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；其二：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．这两种情况都是错误的，都没有体现两直线相交的特点．在应用该定理时要清楚判定一条直线和一个平面是否垂直时，只取决于是否能在平面内找到两条相交直线都和已知直线垂直，而不管这两条直线是否与已知直线都相交．用符号表示为：a⊥m，a⊥nm，n⊂αm∩n＝P⇒a⊥α显然也是五个条件缺一不可．定理也可简写为线线垂直⇒线面垂直．(3)直线和平面垂直的性质①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.②由定义可知：...
