解一元二次不等式(组)【例1】解不等式－5<－x2＋3x－1<1.2231131512041021142411.{|2411}xxxxxxxxxxxxxxxx原不等式组与不等式组同解．将它化为，或所以，解得或－所以原不等式的解集或－【解为析】．解一元二次不等式的方法是：先解出相应的一元二次方程的两根a、b(a
b或x0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．245015.1305243011aaaaaxaxxa若＋－＝，即＝或＝－当＝时，原不等式化为，该不等式对一切实数恒成立；当＝－时，原不等式化为＋，该不等式对一切实数不恒成立．所以＝符【解析】合题意．222245045016(1)12(45)0(5)(1)0(1)(19)015119.1191,192aaaaaaaaaaaaaaaa若＋－，依题意有即，或所以，所以综上所述，实数的取值范围是．本题是由不等式恒成立求参数的取值范围问题．因二次项前面的系数含有字母，故首先需讨论．当a2＋4a－5＝0时，求出a的两个值未必满足题目要求，所以要验证；当a2＋4a－5≠0时，将左边视为一个二次函数，其图象是抛物线，要使不等式恒成立，必须满足两个条件：①开口向上，②与x轴无交点，这样就将问题转化为解一元二次不等式组，从而使问题得到解决．【变式练习2】对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围．222222(2)44.(2)44.[1,1](4)42(2)440[1,1](1)560(1)32013.{|13}fxxaxxgaxaxxafxxaxagaxaxxgxxgagxxxxxxxx＝－＋－＋令＝－＋－＋因为对任意－，函数＝＋－＋－的值恒大于零，所以＝－＋－＋在－上恒成立．而是一次函数，所以，解得或所以的取值范围是或【解析】．解含参数的不等式【例3】解关于x的不等式[(m＋3)x－1](x＋1)>0(m∈R)．【解析】下面对参数m进行分类讨论：①当m＝－3时，原不等式为－(x＋1)>0，所以不等式的解为x<－1.②当m>－3时，原不等式可化为(x－1m＋3)(x＋1)>0.因为1m＋3>0>－1，所以不等式的解为x<－1或x>1m＋3.③当m<－3时，原不等式可化为(x－1m＋3)(x＋1)<0.因为1m＋3＋1＝m＋4m＋3，当－4－1原不等式的解集为－1－3时，解集为{x|x<－1或x>1m＋3}．本题正确解答的关键在于对参数m分类讨论．首先分为m＝－3与m≠－3两种情况，当m≠－3时，再去比较1m＋3与－1的大小以及不等式对应的二次函数的开口方向是否要改变，解题时最好作出草图，以便快速准确地得到答案．【变式练习3】设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M⊆[1,4]，求实数a的取值范围．【解析】(1)M⊆[1,4]有两种情况：其一是M＝∅，此时Δ＜0；其二是M≠∅，此时Δ＝0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围．设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝∅⊆[1,4]；当Δ＝0时，a＝－1或2；当a＝－1时M＝{－1}⊄[1,4]；当a＝2时，m＝{2}⊆[1,4]．当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)＝0的两根x1，x2，且x1＜x2，【解析】那么M＝[x1，x2]，M⊆[1,4]⇔1≤x1＜x2≤4⇔f1>0，且f4>01≤a≤4，且Δ>0，即－a＋...
