第一阶段专题五知识载体能力形成创新意识配套课时作业考点一考点二考点三第三节明确求曲线方程的三种方法1．定义法如果能够根据所给条件，确定出轨迹是哪种类型的曲线，那么只需求出参数的值，便得到轨迹方程，这种方法称为定义法．2．直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法．3．代入法如果轨迹中的点P(x，y)依赖于另一动点Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便得点P的轨迹方程，这种方法称为代入法(也称相关点法)．[考情分析]曲线与方程是解析几何中的基本问题之一，高考对曲线与方程的要求不是很高，但高考中经常会有一些试题是以建立曲线方程作为命题点的．从近几年高考试题看，试题还是存在一定难度的，因此考生在复习时不应忽视．[例1](2011·陕西高考)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．[思路点拨]第(1)问利用已知点与未知点的关系再结合已知点所满足的方程求解；第(2)问主要利用弦长公式求解．[解](1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得xP＝x，yP＝54y， P在圆上，∴x2＋54y2＝25.即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.所以x1＝3－412，x2＝3＋412.所以|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415.[类题通法](1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，即应注意字母的取值范围．[冲关集训]1．(2012·武汉适应性训练)已知双曲线y22－x23＝1的两个焦点分别为F1，F2，则满足△PF1F2的周长为6＋25的动点P的轨迹方程为()A.x24＋y29＝1B.x29＋y24＝1C.x24＋y29＝1(x≠0)D.x29＋y24＝1(x≠0)解析：选依题意得，|F1F2|＝22＋3＝25，|PF1|＋|PF2|＝6>|F1F2|，因此满足△PF1F2的周长为6＋25的动点P的轨迹是以点F1，F2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P的轨迹方程是x24＋y29＝1(x≠0)．C2．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l于Q，且�PC＋12�PQ·�PC12�PQ＝0.问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程．解：设P(x，y)，则Q(8，y)．由(�PC＋12�PQ)·(�PC－12�PQ)＝0，得|�PC|2－14|�PQ|2＝0，即(x－2)2＋y2－14(x－8)2＝0，化简，得x216＋y212＝1.所以点P在椭圆上，其方程为x216＋y212＝1.[考情分析]此考点多以解答题的形式考查，一般试题难度较大，多考查点或参数是否存在，常与距离、斜率或方程等问题综合考查，形成知识的交汇问题。[例2](2012·山东高考改编)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34.(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．[思路点拨](1)圆心Q在OF的垂直平分线上，列方程可解；(2)用点M的横坐标x0表示抛物线在点M处的切线方程，与y＝14联立，可用x0表示点Q的坐标，根据|OQ|＝|QM|列方程求得x0的值．[解](1)依题意知F(0，p2)，圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝p4上，因为抛物线C的准线方程为y＝－p2，所以3p4＝34，即p＝1，因此抛物线C的方程为x2＝2y.(2)假设存在点M(x0，x202)(x0>0)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x＝x0＝(x22)′|x＝x0＝x0，所以直线MQ的方程为y－x202＝x0(x－x0)．令y＝14得xQ＝x02＋14x0，所以Qx02＋14x0，14.又|QM|＝|OQ|，故14x0－x022＋...
