高考数学 第五章第三节 等比数列及其前n项和课件 新人教A版 课件VIP专享VIP免费

1．(2010·重庆高考)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8解析：依题意得a2010a2007＝q3＝8，q＝2.答案：A2．等比数列{an}中a5＝4，则a2·a8等于()A．4B．8C．16D．32解析： a5＝4，∴a2a8＝a25＝16.答案：C解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，依题意知8a1q＋a1q4＝0，a1≠0，则q3＝－8，故q＝－2，所以S5S2＝1－q51－q2＝－11.答案：D3．(2010·浙江高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()A．11B．5C．－8D．－114．已知等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5＝________.解析： a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21又 a1＝3，∴1＋q＋q2＝7解之得q＝2或q＝－3(舍)∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝4×21＝84.答案：845．在数列{an}，{bn}中，bn是an与an＋1的等差中项，a1＝2，且对任意n∈N*，都有3an＋1－an＝0，则{bn}的通项公式bn＝________.解析： a1＝2,3an＋1－an＝0，∴{an}是以2为首项，以13为公比的等比数列，∴an＝a1·qn－1＝2(13)n－1＝23n－1.又 bn是an与an＋1的等差中项，∴bn＝12(an＋an＋1)＝12(23n－1＋23n)＝13n－1＋13n＝43n.答案：43n1．等比数列的相关概念相关名词等比数列{an}的有关概念及公式定义an＋1an＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或anan－1＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且n≥2)通项公式an＝＝am·qn－ma1qn－1相关名词等比数列{an}的有关概念及公式前n项和公式等比中项设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项G＝±ab2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q则.特别地m＋n＝2p则.(2)若等比数列前n项和为Sn则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝(m∈N*，公比q≠－1)．am·an＝ap·aqam·an＝a2pSm(S3m－S2m)已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式以及Sn.考点一等比数列的判定与证明[自主解答](1)证明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)，当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6，又a1＝5，所以a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*，又a1＝5，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．(2)由(1)得an＋1＝6·2n－1，所以an＝6·2n－1－1，于是Sn＝6·1－2n1－2－n＝6·2n－n－6.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证数列{Sn＋2}是等比数列．解：(1) a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2，当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4，当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)证明： a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，②①－②得，nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2，∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．又 S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．考点二等比数列的基本运算在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64.求{an}前8项的和S8.[自主解答]设数列{an}的首项为a1，公比为q，由已知条件得：a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24.(*)a3·a5＝(a1q3)2＝64.∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入(*)式，得q2＝－2(舍去)，将a1q3＝8代入(*)式，得q2＝4.∴q＝±2.当q＝2时，得a1＝1，∴S8＝a11－q81－q＝255；当q＝－2时，得a1＝－1，∴S8＝a11－q81－q＝85.已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.解：法一：a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，①a21q4－2a21q6＋a21q8＝36.②①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100.解得q2＝4...