8.5空间直线、平面的平行8.5.1直线与直线平行8.5.2直线与平面平行学习目标1.掌握基本事实4的内容及应用.2.理解空间等角定理的内容及应用.3.理解直线与平面平行的判定定理.4.理解直线与平面平行的性质定理.5.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.重点：基本事实4与等角定理的应用.通过直观感知，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理.难点：等角定理中角的相等与互补的辨别.两个定理的应用.1.基本事实4（平行公理）的内容(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.(2)符号表示：a∥bb∥c⇒a∥c.一、基本事实4和等角定理2.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应，则这两个角相等或.平行互补知识梳理二、线面平行的判定定理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与____________________，则该直线与此平面平行⇒a∥αa⊄αb⊂αa∥b此平面内一条直线平行文字语言一条直线与一个平面，则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线_____符号语言a∥α，⇒a∥b图形语言a⊂β，α∩β＝b平行交线平行三、直线与平面平行的性质定理例1一基本事实4与等角定理常考题型在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形.（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【证明】（1） ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1.又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1，且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴M1M＝AA1，且M1M∥AA1.又AA1＝BB1，且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1，且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形.（2）由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由图易知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.【名师点拨】1.证明两条直线平行的两种方法（1）利用平行线的定义，证明两条直线在同一平面内且无公共点.（2）利用基本事实4，寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，则这两条直线平行.若题设条件中含有中点，则常利用三角形中位线的性质证明直线平行.2.证明角相等的两种方法（1）利用定理.（2）利用三角形全等或相似.第（2）问另解：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∴BM＝B1M1.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴CM＝C1M1.又 BC＝B1C1，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.2.［2019·山东枣庄高一检测］如图，已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.（1）求证：四边形MNA1C1是梯形.（2）求证：∠DNM＝∠D1A1C1.证明：（1）如图，连接AC，在△ACD中， M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC. AC∥A1C1，AC＝A1C1，∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形.（2）由（1）可知MN∥A1C1，又ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.由图易知∠DNM与∠D1A1C1均是锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.二直线与平面平行的判定例2［2019·全国Ⅰ卷改编］如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.证明：MN∥平面C1DE.【证明】如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1平行且相等于DC，可得B1C平行且相等于A1D，故ME平行且相等于ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.◆判断直线与平面平行的两种方法（1）定义法①用反证法说明直线与平面没有公共点；②若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面无公共点，由此可得线面平行.（2）定理法设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知直线不在平面内.定理中的三个条件缺一不可.训练题1.［2019·山东日照高一检测］如图所示，已知A1B1C1-ABC是三棱柱，D是AC的中点.求证：AB1∥平面DBC1.证明： A1B1C1-ABC是三棱柱，∴四边形B1BCC1是平行四边形.如图，连接B1C交BC1于点E，则B1E＝EC.连接DE，在△AB1C中， AD＝DC，∴DE∥AB1.又AB1平面DBC1，DE平面DBC...
