•第二节离散型随机变量的期望与方差考纲点击1.了解离散型随机变量的期望值、方差的意义.2.会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.热点提示1.常与实际问题相结合以解答题的形式考查期望、方差在实际生活中的应用.2.熟练掌握概率的求法是解题的关键.1．期望(1)若离散型随机变量ξ的概率分布列为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝________________________为ξ的数学期望，简称期望．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…•(2)离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．•(3)数学期望的性质．•①E(C)＝____(C为常数)．•②若ξ是随机变量，η＝aξ＋b(a，b为常数)，则E(aξ＋b)＝___________.CaEξ＋b2．方差(1)概念如果离散型随机变量ξ所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，…，设Eξ是随机变量ξ的期望，那么把Dξ＝____________叫做随机变量ξ的均方差，简称______．方差Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的__________，记作_____.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的____________________________的程度．其中标准差与随机变量本身有____________．(2)性质①D(C)＝0(C为常数)．②D(aξ＋b)＝_______.标准差σξ稳定与波动、集中与离散相同的单位a2Dξ3．二项分布与几何分布的期望与方差(1)二项分布若ξ～B(n，p)，则Eξ＝___，Dξ＝_________．(2)几何分布若ξ服从几何分布，则P(ξ＝k)＝g(k，p)，Eξ＝____，Dξ＝_______.np(1－p)np1p1－pp21．若随机变量X的分布列如表，则EX＝()X012345P2x3x7x2x3xxA.118B.19C.209D.920【解析】由分布列的性质，可得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，∴x＝118.∴EX＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5x＝40x＝209.•【答案】C•2．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()•A．5B．5.25•C．5.8D．4.6【解析】由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得EX＝5.25.•【答案】B3．已知ξ的分布列为()ξ－101P121316则在下列式子中，①Eξ＝－13；②Dξ＝2327；③P(ξ＝0)＝13.正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】Eξ＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．Dξ＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故②不正确．③显然正确．•【答案】C•4．某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击；若没中靶，则继续射击．如果只有3发子弹，则射击次数X的数学期望为________．(用数字作答)【解析】射击次数X的分布列为X123P0.80.160.04EX＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.【答案】1.245．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如表所示：A机床次品数X10123概率P0.70.20.060.04B机床次品数X20123概率P0.80.060.040.10由此可以判定机床________的加工质量较好．【解析】 EX1＝0.44；EX2＝0.44.DX1＝0.6064；DX2＝0.9264.∴机床A加工质量更好一些．•【答案】A离散型随机变量均值与方差的计算(2008年山东高考)甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．•(1)求随机变量ξ的分布列和数学期望；•(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．•【思路点拨】确定随机变量ξ的取值求随机变量ξ的分布列求随机变量ξ的数学期望利用概率公式求P(AB)【自主解答】(1)方法一：由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P(ξ＝0)＝C03×(1－23)3＝127，P(ξ＝1)＝C13×23×(1－23)2＝29，P(ξ＝2)＝C23×(23)2×(1－23)＝49，P(ξ＝3)＝C33×(23)3＝827，所以ξ的分布列为ξ0123P1272949827ξ的数学期望为Eξ＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.方法二：根据题设可知，ξ～B(3，23)，因此ξ的分布列为P(...
