第二部分考前冲刺篇专题九题型突破一、填空题的解法与技巧题型精点解读填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力．填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力．近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了．方法应用示例方法一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．解析设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，∴d＝59.∴数列{an}为递增数列．令an≤0，∴－3＋(n－1)·59≤0，∴n≤325， n∈N*.∴前6项均为负值．∴Sn的最小值为S6＝－293.－293变式训练1若函数f(x)＝m＋loga(x－3)的图象恒过点(4,4)，则g(x)＝mx＋2m2x＋4的最大值是________．解析由已知可得f(4)＝4，故m＋loga1＝4，解得m＝4.故g(x)＝4x＋242x＋4＝16×4x42x＋4＝164x＋44x，因为4x>0，所以4x＋44x≥24x×44x＝4(当且仅当4x＝44x，即x＝log42＝12时等号成立)，所以g(x)≤164＝4，即g(x)的最大值为4.故填4.4方法二特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例2过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则1p＋1q为___．解析若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ∥x轴，则p＝q＝12a，∴1p＋1q＝4a.4a变式训练2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.解析方法一取特殊值a＝3，b＝4，c＝5，则cosA＝45，cosC＝0，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.方法二取特殊角A＝B＝C＝60°，cosA＝cosC＝12，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.45方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果．例3当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx成立，则实数k的取值范围是________．解析 0≤x≤1，∴0≤πx2≤π2.则函数y1＝sinπx2(0≤x≤1)的图象如图所示．要使不等式sinπx2≥kx在[0,1]上恒成立，则k≤1.k≤1变式训练3已知函数f(x)＝log2x(x>0)，3x(x≤0)且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根,则实数a的范围是_________．解析方程f(x)＋x－a＝0的实根也就是函数y＝f(x)与y＝a－x的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当a≤1时，两个函数图象有两个交点，当a>1时，两个函数图象的交点只有一个．所以实数a的范围是(1，＋∞)．(1，＋∞)方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷地解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似的问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何体等具体的数学模型，使问题快速解决．例4已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确序号)．解析用正方体ABCD－A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，A...
