第5课时椭圆第5课时椭圆考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1．椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之____等于常数(____________)的点的集合叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的_______，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的_______．和大于|F1F2|焦点焦距思考感悟在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程及其简单几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形范围|x|≤a；|y|≤b|x|≤b；|y|≤a标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)对称性曲线关于_______、_______________对称曲线关于_______、_____________对称顶点坐标长轴顶点(_______)短轴顶点(________)长轴顶点(________)短轴顶点(________)焦点坐标(__________)(_________)焦距|F1F2|＝_____(c2＝_________)离心率e＝ca∈___________，其中c＝___________x轴y轴、原点y轴、原点x轴±a,00，±b0，±a±b,0±c,00，±c2ca2－b2(0,1)a2－b2考点探究·挑战高考求椭圆的标准方程考点突破考点突破确定椭圆标准方程包括“定位”和“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常用待定系数法．(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为3，求椭圆的标准方程；(2)如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝12.求椭圆E的方程．例例11【思路分析】由已知条件设出椭圆的标准方程，解方程(组)，用待定系数法求解，应注意处理椭圆焦点位置不确定时的情况．【解】(1)由已知a＝2c，a－c＝3，∴a＝23，c＝3.从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.(2)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由e＝12，即ca＝12，得a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2.∴椭圆的方程可化为x24c2＋y23c2＝1.将A(2,3)代入上式，得1c2＋3c2＝1，解得c2＝4，∴椭圆E的方程为x216＋y212＝1.【名师点评】一般求已知曲线类型的曲线方程问题，“通常用待定系数法，可采用先定形，后定式，再定”量的步骤：(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；(2)定式——“”根据形设方程的形式，注意曲线方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)；(3)定量——由题设中的条件找到“”式中待定系数的等量关系，通过解方程(组)得到量的大小．(1)椭圆的几何性质分类．①第一类：与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如长轴长2a，短轴长2b，焦距2c，离心率e等；②第二类：与坐标系有关的性质，如顶点坐标、焦点坐标等．(2)椭圆的离心率e与a、b的关系．椭圆的几何性质e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－(ba)2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－c,0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，满足F1M→·F2M→＝0.求离心率e的取值范围．例例22【思路分析】设M(x，y)，由题意将x表示为关于e的不等式，根据椭圆上的点的取值范围得到关于e的不等式，即可得．【解】设点M的坐标为(x，y)，则F1M→＝(x＋c，y)，F2M→＝(x－c，y)．由F1M→·F2M→＝0，得x2－c2＋y2＝0，即y2＝c2－x2.①又由点M在椭圆上得y2＝b2(1－x2a2)，代入①得b2(1－x2a2)＝c2－x2，所以x2＝a2(2－a2c2)， 0≤x2≤a2，∴0≤a2(2－a2c2)≤a2，即0≤2－a2c2≤1,0≤2－1e2≤1，解得22≤e≤1，又 0
