125/3兰州大学2006年硕士研究生入学考试题数学分析试题解答一．(40分)计算1．nnnn20052004lim;2．xxx2sin10)(coslim;3．121limppppnnn（p为正整数）;4．求级数12012)1(nnnxn的和函数和收敛区域.二．（12分）设)(xf在),(ba上连续,并且)(limxfax,)(limxfbx存在.证明:)(xf在),(ba上一致连续.三．（13分）若)(xf在0x的领域),(00xx上有定义,并且在0x处的左导数和右导数存在.证明:)(xf在0x处连续.四．（15分）计算曲线积分dyyxyxdxyxyxIL2222，其中L为沿椭圆12222byax的逆时针方向.解:记22xyPxy,22xyQxy，则2222222222()()22()()Qxyxyxyxxyxxyxy,2222222222()()22()()Pxyxyyyxxyyxyxy.从而当(,)(0,0)xy时，有QPxy.取充分小的正数,使得圆L:222xy完全含于椭圆12222byax之内.则根据格林公式得222200LLDxyxydxdydxdyxyxyU?因此22222222LLxyxyxyxydxdydxdyxyxyxyxy蜒20[(cossin)(sin)(cossin)cos]2d.五．（15分）设)(xf在]1,0(上连续,并且ABxfxx00lim,)(lim,证明:对任何],[BA,都存在)1,0(nx,0nx,使得)(limnnxf.证明：ⅰ>因为0limxA,所以(0,1]nx,且lim0nnx,使得lim()nnfxA.ⅱ>因为0lim()xfxB,所以(0,1]ny,且lim0nny,使得lim()nnfyB.126/3ⅲ>(,)AB.因为lim()nnfxA,lim()nnfyB,所以对于01min,02AB,0N,使得当0Nn时,有0()nfxA与0()nfyB同时成立.即当0Nn时,有0011()()()()22nnfxAABBfy.由于函数)(xf在区间],[nnyx或],[nnxy上连续,且)()(nnyfxf),2,1(00NNn,根据连续函数的介值性知(,)(0,1]nnnzxy或(,)(0,1]nnnzyx,使得)(nzf,从而)(limnnzf.又因为lim0nnx,lim0nny,所以lim0nnz.六．（20分）设)(xf是nR上的连续函数,满足lim()xfx,其中),,,(21nxxxx,1222212()nxxxxL.证明:一定存在nRx0,使得)(inf)(0xfxfnRx.证明:因为lim()xfx,所以对0max(0),10Gf,00X,使得当0xX时,有0()fxG.又因为()fx在闭球0BxxX上连续,所以存在0nxBR,使得0()inf()xBfxfx.nxR,当nxRB时,有00()max(0),1(0)inf()()xBfxGfffxfx.当xB时,有0()inf()()xBfxfxfx.因此)(inf)(0xfxfnRx.七．（15分）设)(1xf在],[ba上黎曼可积,令xannndttfxf,2,1,)()(1.证明:)}({xfn在],[ba上一致收敛于零.证明:因为)(1xf在],[ba上黎曼可积,所以)(1xf在],[ba上有界,即0M,使得[,]xab,有1()fxM.因此[,]xab,有211()()()()xxxaaafxftdtftdtMdtMxa,2322()()()()()2xxxaaaxafxftdtftdtMtadtM,假设1()()!nnxafxMn,则1211()()()()()!(1)!nnxxxnnnaaataxafxftdtftdtMdtMnn,因此[,]xab,有1()()()!!nnnxabafxMMnn,0,1,2,nL因为()lim0!nnban,所以)}({xfn在],[ba上一致收敛于零.八．（20分）设),(txf是带形区域}||,|),{(0ttxtx上的二元连续函数,并且关于x满足Lipschits条件，即存在常数L使得对任意),(,),,(00yxttt有|||),(),(|yxLtyftxf.127/3证明:初值问题00(,),().dxfxtdtxtx在区间],[00tt上有唯一连续的解，其中)1,min(0L.证明:ⅰ>00[,]ttt,令00()tx,0100()()((),)ttttfssds,01()()((),)tnnntttfssds,0,1,2,nL.则0010000()()(,)(,)ttttttfxsdsfxsdsMtt00211100()()()((),)(,)tttttttfssdsxfxsdsⅱ>ⅲ>ⅳ>
