第一章勾股定理专题突破一勾股定理的应用2018秋季数学八年级上册•B类型1利用勾股定理求线段长1．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6.若点P在边AC上移动，求BP最小值是多少？解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3.由勾股定理，得AD＝4，又∵S△ABC＝12BC·AD＝12，∴当BP⊥AC时，BP最小，此时S△ABC＝12AC·BP＝12，∴BP最小值为245.2．如图所示，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，试求AC的长．解：在Rt△BCE中，EC2＝BE2－BC2＝132－52＝122，∴EC＝12.又∵DE＝7，∴CD＝EC－DE＝5.在Rt△ACD中，AC2＝AD2－CD2＝132－52＝122，∴AC＝12.3．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，将Rt△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，求CD的长．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，所以AB2＝52＋122＝132，所以AB＝13.由折叠的特性，知CD＝DE，AC＝AE，∠AED＝∠C＝90°.设CD＝x，则DE＝x，DB＝12－x，BE＝AB－AE＝13－AC＝13－5＝8.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，即x2＝(12－x)2－82，解得x＝103，∴CD＝103.类型2勾股定理的逆定理及应用4．在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB、EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明AB⊥EA.解：连接EB.∵AE2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，BE2＝22＋42＝20，∴AE2＋AB2＝BE2，所以△ABE为直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥EA.5．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状．解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE.∵CD＝BD，∠ADC＝∠EDB，AD＝DE，∴△ADC≌△EDB，∴AD＝DE＝6，AC＝BE＝13，在△AEB中，AE2＋AB2＝122＋52＝169＝BE2，∴∠EAB＝90°，∴△ABD为直角三角形．6．要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，已知∠B＝90°，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？解：连接AC.因为在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，BC＝7，所以AC2＝AB2＋BC2＝242＋72＝625，故AC＝25.因为在△ACD中，CD＝15，AD＝20，所以152＋202＝252＝AC2.所以△ACD是直角三角形，且∠D＝90°.因此这个零件符合要求．类型3利用勾股定理求最短路线7．如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为55dm、10dm、6dm.A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，请你想一想，蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？解：将原图中的台阶面拉平，成为如图所示的平面．连接AB，得到Rt△ACB，AC＝3×(10＋6)＝48(dm)，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝482＋552＝732.∴AB＝73dm，∴蚂蚁所爬的最短路程为73dm.8．如图，圆柱形无盖玻璃容器高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的外侧距上口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．解：将侧面沿AB展开，CF为最短路线．如图所示，过C作CE⊥AB于E点，在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，EF＝18－1－1＝16(cm)，CE＝12×60＝30(cm)，由勾股定理，得CF2＝EC2＋EF2＝342，∴CF＝34(cm)，所以蜘蛛所走的最短路线长为34cm.类型4立体图形内的最长线段9．如图，有一长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体木箱，在它里面放一根细木条(木条的粗细忽略不计)要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是()A．13cmB．14cmC．15cmD．16cmA10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A．5≤a≤12B．5≤a≤13C．12≤a≤13D．12≤a≤15C类型5综合创新题11．牧童在河边A处放牛，家在河边B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家．已知A点到河边的距离AC为500m，点B到河边的距离BD为700m，且CD＝500m.(1)请在原图上画出牧童回家的最短路线；(2)求出最短路线的长度．(2)由作图可得最短路程为A′B的距离．过A′作A′F⊥BD的延长线于F，则DF＝A′C＝AC＝500(m)，A′F＝CD＝500(m)，BF＝700＋500＝1200(m)．根据勾股定理，得A′B2＝12002＋5002＝13002，∴A′B＝1300m.即最短路线的长度为1300m.解：(1)作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，点P即为所求作的点，牧童回家的最短路线为A—P—B；
