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高中数学 2.3 等差数列的前n项和 新二课件 新人教A版必修5 课件VIP免费

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2.3等差数列的前n项和(二)了解等差数列前n项和公式的函数特征,掌握等差数列前n项和的性质,灵活运用等差数列前n项和公式及有关性质解题.2.等差数列an的前n项和为Sn,那么数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,S(n+1)m-Snm,…(n∈N*,m为正整数且为常数)为________数列.1.若数列an的前n项和为Sn,则Sn=An2+Bn(A、B为常数)是数列an为等差数列的________条件.答案:充要自学导引答案:等差答案:(2n-1)3.若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=________×an.答案:Sm+p=0自主探究等差数列an中,若Sm=Sp(m≠p),则Sm+p的值等于多少?1.现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩下的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为()A.9B.10C.19D.29答案:B预习测评2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.2B.24C.3D.25解析:a2+a4+a6+a8+a10=30①a1+a3+a5+a7+a9=15②①-②得:5d=15.∴d=3.选C.答案:C答案:103.等差数列an的前n项和为Sn,若S2m-12m-1=10,则am=________.解析:am=S2m-12m-1=10.解析:因为数列a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8为等差数列,所以a7+a8=4.答案:44.在等差数列an中,若a1+a2=1,a3+a4=2,则a7+a8=________.1.等差数列前n项和公式(1)性质1:Sn=An2+Bn(A、B为常数)an=pn+q(p、q为常数).(2)性质2:①在等差数列中,间隔相等,连续等长的片段和序列仍成等差数列.如:a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8,…,公差为4d.要点阐释a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,…,公差为3d.a1+a3+a5,a2+a4+a6,a3+a5+a7,…公差为3d.②等差数列依次k项之和仍是等差数列.即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等差数列,且公差为k2d.(3)性质3:等差数列an中,若an=m,am=n,则am+n=0;若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n).2.等差数列的前n项和的最值的求法(1)符号转折点法当a1>0,d<0时,由不等式组an≥0an+1≤0,可求得Sn取最大值时的n值.当a1<0,d>0时,由不等式组an≤0an+1≥0,可求得Sn取最小值时的n值.(2)利用二次函数求Sn的最值知道公差不为0的等差数列的前n项和Sn可以表示成Sn=an2+bn(a≠0)的形式,我们可将其变形为Sn=an+b2a2-b24a.结合二次函数可知Sn的最值情况如下:若a>0,则当n+b2a2最小时,Sn有最小值;若a<0,则当n+b2a2最小时,Sn有最大值.题型一等差数列前n项和公式性质的应用典例剖析【例1】在等差数列an中,S10=100,S100=10,试求S110的值.解:解法一:设等差数列an的首项为a1,公差为d.则10a1+10×92d=100,100a1+100×992d=10,解得a1=1099100,d=-1150,∴S110=110a1+110×1092d=110×1099100+110×1092×(-1150)=-110.解法二:设Sn=An2+Bn,则100A+10B=100,10000A+100B=10,即10A+B=10,1000A+10B=1,解得A=-11100,B=11110,∴Sn=-11100n2+11110n.故S110=-11100×102+11110×110=-110.解法三: S10=100,S100=10,∴S100-S10=a11+a12+…+a100=90a11+a1002=-90,∴a11+a100=-2.∴a1+a110=a11+a100=-2,∴S110=110a1+a1102=-110.解法四: S10,S20-S10,…,S100-S90,S110-S100,…组成一首项为100的等差数列,设公差为d,前n项和为Tn.则T10=S100=10×100+10×92d=10.∴d=-22,∴T11=S110=11×100+11×102(-22)=-110.方法点评:本题解法较多,解答一是此类题目的基本解法,但显得较烦琐,解答二、三、四主要运用了等差数列及其前n项和的性质,由此可见,灵活运用性质能给解题带来很大方便.1.已知等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则数列的前3m项和为________.解析:解法一:依据题设和前n项和公式有ma1+mm-12d=30,①2ma1+2m2m-1...

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