11.4空间中的垂直关系11.4.1直线与平面垂直第十一章立体几何初步学习目标1.掌握线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式.2.掌握线面垂直的定义、判定定理和性质定理，会证明线面垂直，能利用线面垂直得到线线垂直关系.3.掌握面面垂直的定义、判定定理和性质定理，会证明面面垂直，能利用面面垂直得到线面垂直关系.学习目标重点：空间线、面垂直的定义、判定和性质.难点：空间线线、线面和面面垂直的判定和性质定理的推导以及应用.知识梳理1.异面直线所成的角一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.一、直线与直线所成的角如图中，AB与B1C1所成角的大小，等于A1B1与B1C1所成角的大小，即为；AB与B1D1所成角的大小，等于A1B1与B1D1所成角的大小，即为.90°45°2.空间两直线垂直规定空间中两条平行直线所成角的大小为.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作.若ab∥且bc⊥，则一定有.0°lm⊥ac⊥直线与平面垂直的判定定理（简称为线面垂直的判定定理）如果一条直线与一个平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.如果mα，nα，m∩n≠，lm⊥，ln⊥，则lα.⊥直线l与平面α垂直的充要条件是，直线l与平面α内的任意直线都垂直.符号表示：lαmα⊥，lm.⊥二、直线与平面垂直的判定定理两条相交如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.三、直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质定理（简称为线面垂直的性质定理）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直.如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的（相应地，直线AC称为平面α的斜线），称C为斜足.直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.AC＝AD的充要条件是BC＝BD或∠ACB＝∠ADB.斜线段例1一异面直线所成的角常考题型在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小.【解】（方法1）如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OGB∥1D，EFA∥1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角. GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GOA⊥1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.（方法2）如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE平行且等于DB1，于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角.连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝.取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HIIF⊥，∴HF2＝HI2+IF2＝，∴HF2＝EF2+HE2，∴∠HEF＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.（方法3）如图，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN. E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EFA∥1C1.又MNA∥1C1，∴MNEF.∥连接DM，B1N，MB1，DN，DB1，则B1N平行且等于DM，∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角.设AA1＝k（k>0），则MP＝，DM＝，DP＝，∴DM2＝DP2+MP2，∴∠DPM＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.（方法4）如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，易得B1QEF∥，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角.设AA1＝k（k>0），则B1D＝，DQ＝，B1Q＝，∴B1D2+B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.解题归纳求异面直线所成角的步骤（1）作：根据定义，用平移法作出异面直线所成的角.（2）证：证明作出的角就是要求的角.（3）计算：寻找或作出含有此角的三角形，求解计算.（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.变式训练［2019·广西贺州高一期末］在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝2，E为BC的中点，BC＝2AE＝，则异面直线AE与A1C所成的角是.60°解题归纳【方法点拨】求异面直线所成角的关键是“作角”，一般需要对两条异面直线采取平移构造，即将不相交的两条直线平移转化为...
