第11讲复数高考要点回扣1．复数的定义设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．2．复数的分类复数a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0；是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0；是虚数的充要条件是b≠0.3．复数相等两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＝z2⇔a＝c且b＝d.4．复数的几何意义(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数z＝a＋bi有序数对(a，b)点Z(a，b)．(3)设＝a＋bi，则向量的长度叫做复数a＋bi的模，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝a2＋b2.OZOZ5．共轭复数如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝a－bi.6．复数的运算(1)复数的加减法运算法则(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加减．(2)复数的乘法①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个实数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.②复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有：z1·z2＝z2·z1；(z1·z2)·z3＝z1(z2·z3)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.③两个共轭复数z，z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z·z＝|z|2＝|z2|.(3)复数的除法设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)，则z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.如已知复数z＝1－i，则复数z2－2zz－1的虚部为______．-2精品回扣练习1．(2010·辽宁)设a，b为实数，若复数1＋2ia＋bi＝1＋i，则()A．a＝32，b＝12B．a＝3，b＝1C．a＝12，b＝32D．a＝1，b＝3解析∵1＋2ia＋bi＝1＋i，∴a＋bi＝1＋2i1＋i＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋i2，∴a＝32，b＝12.A2.(2010·湖北)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()A．EB．FC．GD．H解析由题图知复数z＝3＋i，∴z1＋i＝3＋i1＋i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H.D3．已知复数z满足(1＋3i)z＝i，则z等于()A.32－i2B.32＋i2C.34－i4D.34＋i4解析本题考查的是复数的代数运算．z＝i1＋3i＝i(1－3i)1＋3＝i＋34.故选D.D4．在复平面内，复数1＋ii对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析1＋ii＝1－i，则复数1＋ii对应的点(1，－1)在第四象限．D5．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则zz等于()A．iB．－iC．±1D．±i解析可设z＝2＋bi(b∈R)，由z·z＝8得4＋b2＝8，b＝±2.zz＝z28＝(2±2i)28＝±i.选DD6．已知m1＋i＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni等于()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i解析由m1＋i＝1－ni，得m(1－i)2＝1－ni，即m2－m2i＝1－ni，∴m2＝1，－m2＝－n，解得m＝2，n＝1，∴m＋ni＝2＋i.C7．(2010·江西)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为()A．x＝－1，y＝1B．x＝－1，y＝2C．x＝1，y＝1D．x＝1，y＝2解析∵(x＋i)(1－i)＝(x＋1)＋(1－x)i，∴(x＋1)＋(1－x)i＝y.∴x＋1＝y，1－x＝0.∴x＝1，y＝2.D8．(2010·重庆)已知复数z＝1＋i，则2z－z＝_____.解析2z－z＝21＋i－1－i＝2(1－i)(1＋i)(1－i)－1－i＝－2i.－2i9．设z2＝z1－iz1(其中z1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．解析设z1＝x＋yi(x、y∈R)，z2＝－1＋bi(b∈R)，由复数相等得－1＋bi＝x＋yi－i(x－yi)＝(x－y)＋(y－x)i∴x－y＝－1，b＝y－x＝－(x－y)＝1.110．已知虚数z，使z1＝z1＋z2和z2＝z21＋z都是实数，求z.解设z＝a＋bi(b≠0)，z1＝z1＋z2＝a＋bi(a2－b2＋1)＋2abi＝a(a2－b2＋1)＋2ab2＋[b(a2－b2＋1)－2a2b]i(a2－b2＋1)2＋4a2b2，∵z1为实数，∴b(a2－b2＋1)－2a2b＝0.∴－a2＋1＝b2.①z2＝z21＋z＝a2－b2＋2abi(a＋1)＋bi＝[(a2－b2)(a＋1)＋2ab2]＋[－b(a2－b2)＋2ab(a＋1)]i(a＋1)2＋b2∵z2为实数，∴－b(a2－b2)＋2ab(a＋1)＝0.即a2＋2a＋b2＝0.②联立①②解之得：a＝－12，b2＝34.∴z＝－12±32i.返回
