专题五解析几何第1讲直线与圆感悟高考明确考向(2010·山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_____________．解析设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r＝|x0－1|.圆心到直线l的距离为d＝|x0－1|2.由弦长为22可知|x0－1|22＝(x0－1)2－2，整理得(x0－1)2＝4.∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y＝x－1垂直的直线方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.x＋y－3＝0考题分析本小题考查了直线的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及圆的弦长、弦性质等．试题以直线与圆为背景，引入圆心坐标，以垂径定理为依据，构建方程，是解决该题的关键．易错提醒(1)不能熟练应用垂径定理，构建方程．(2)易忽视题目限制条件．如圆心在x轴的正半轴上．(3)所求直线斜率是直线l的斜率的负倒数．这也是许多考生易错的知识点．主干知识梳理1．直线的方程(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围．(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况．(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解．(4)求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想．(5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．(6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1，l2斜率都存在，且不重合的条件下，才有l1∥l2⇔k1＝k2与l1⊥l2⇔k1k2＝－1.(7)在运用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求平行直线间的距离时，一定要把x，y项的系数化成相等的系数．2．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心为(－D2，－E2)，半径为r＝D2＋E2－4F2；二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，A＝C≠0，D2＋E2－4AF>0.(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法．根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程．热点分类突破题型一有关直线的问题例1设直线l1的方程为x＋2y－2＝0，将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，则l2的方程为____________________．思维启迪考虑l1⊥l2可先求k2的斜率→l1与x轴交点(2,0)，l2与y轴交点(0,2)→点斜式求l2的方程．解析易知直线l2⊥l1，故直线l2的斜率为2，而直线l1与x轴的交点为(2,0)，旋转后得l2与y轴的交点为(0,2)，故l2的方程为y＝2x＋2，即2x－y＋2＝0.2x－y＋2＝0探究提高有关直线旋转问题，通常会涉及到两直线的夹角、平行、垂直等关系，用数形结合的方法可减少直接运算带来的麻烦．变式训练1已知a＝(6,2)，b＝(－4，12)，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的一般方程是__________________．解析a＋2b＝(－2,3)，所以直线l的斜率为23，又 直线l过点A(3，－1)，∴l的方程为y＋1＝23(x－3)，即2x－3y－9＝0.2x－3y－9＝0题型二圆的方程例2在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．思维启迪本题可根据条件得f(x)＝0一定有两个不同根求得b的取值范围，进而再求出圆C的方程．然后通过观察得到圆C是否过定点．解(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b...
