高中数学 24向量的数量积课件 苏教版必修4 课件VIP专享VIP免费

2．4向量的数量积学习目标预习导学典例精析栏目链接1．掌握平面向量数量积的定义及其几何意义．2．掌握平面向量的数量积的性质及运算律，并能运用它们处理长度、角度和垂直等问题．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接向量数量积的运算已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝________．解析：(2a－b)·a＝2a·a－a·b＝2|a|2－|a|·|b|cos120°＝2×22－2×5×－12＝8＋5＝13.答案：13学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练1．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．解析：∵|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为60°，∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝9－3×4×12－6×16＝－93.学习目标预习导学典例精析栏目链接求两向量的夹角若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．解析：方法一用通常方法．设向量a，b的夹角为α，因为c⊥a，又c＝a＋b，所以a·(a＋b)＝0⇔|a|2＋|a|·|b|cosα＝0⇔cosα＝－12⇔α＝120°.学习目标预习导学典例精析栏目链接◎规律总结：本题涉及向量的加法、向量的模、向量垂直的等价条件、向量的夹角和向量的数量积等基础知识．法一是通常方法；法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答案．无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用．方法二数形结合．如图所示，在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝2，所以∠ACO＝30°.所以∠AOB＝120°.答案：120°变式训练2．已知A(3，1)，B(6，1)，C(4，3)，D为线段BC的中点，则向量AC→与DA→的夹角的余弦值为________．解析：∵D是线段BC的中点，B(6，1)，C(4，3)，∴D(5，2)．∴AC→＝(1，2)，DA→＝(－2，－1)．∴cosAC→，DA→＝AC→·DA→|AC→|·|DA→|＝－45×5＝－45.答案：－45.学习目标预习导学典例精析栏目链接向量的垂直问题在△ABC中，∠C＝90°，AB→＝(k，1)，AC→＝(2，3)，则k的值是________．解析：由AB→＝(k，1)，AC→＝(2，3)，得BC→＝(2－k，2)．又∠C＝90°得AC→⊥BC→.∴AC→·BC→＝0，即2(2－k)＋3×2＝0，解得k＝5.答案：5◎规律总结：本题用的是待定系数法，体现了方程的思想，运用待定系数法的关键是将题目中的等量关系转化为含有未知数的方程．变式训练3．设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；(2)求函数k＝f(t)的最小值．分析：由已知条件知x⊥y，即x·y＝0，可以得到函数关系式k＝f(t)，然后利用函数的性质求最值．解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.又x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0，∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t2－3t＝0，即k＝14(t2－3t)．(2)由(1)知，k＝14(t2－3t)＝14t－322－916，即函数的最小值为－916.学习目标预习导学典例精析栏目链接向量模的问题向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．解析：方法一∵(a－b)·c＝(a－b)·(－a－b)＝b2－a2＝0，∴|a|2＝|b|2＝1.c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2.∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.方法二如图，△ABC，△ADC均为等腰直角三角形．|b|＝|a|＝1.|c|＝2.∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案：4◎规律总结：方法一利用数量的运算性质及运算律；方法二利用加、减法的几何意义，数形结合，较简捷．变式训练4．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则()A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)解析：|a－te|≥|a－e|恒成立，即|a－te|2≥|a－e|2恒成立，∴t2－2(a·e)t＋2a·e－1≥0恒成立．∴Δ＝4(a·e)2－4(2a·e－1)≤0.∴(a·e－1)2≤0.∴a·e＝1＝e·e.∴(a－e)·e＝0.∴(a－e)⊥e.答案：C