等差数列{an}等比数列{an}定义an+1-an=d(常数)an+1/an=q(不为零的常数)通项an=a1+(n–1)dan-am=(n–m)dan=a1qn-1an/am=qn-m⑴公式⑵推导方法①归纳猜想②叠加法①归纳猜想②累乘法性质若m+n=r+s,m、n、r、sN*∈则am+an=ar+as若m+n=r+s,m、n、r、sN*∈则am·an=ar·as前n项和Sn⑴公式⑵推导方法(a1+an)nSn=2=na1+n(n–1)2d倒序相加法等比数列的前n项和一、提出问题:s64=1+2+22+23+24+……+2632222324263264++++……++=①②两式相减得:s64=264-1这就是求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和642s发明者所要的麦粒数为:231222632已知数列a1,a2,a3,…an,…是公比为q的等比数列,求它的前n项和sn根据等比数列的通项公式,有sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1①①的两边乘q得,qsn=a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn②相减得,(1-q)sn=a1-a1qn1(1)1nnaqsq或11nnaaqsq二、由特殊到一般当q1时11111,nqsaaana当时------------这种求和的方法叫错位相减法解:1111=11nnnnaSaqaaqqq=1q,1.q等比数列的前项和公式:nnS等差数列{an}等比数列{an}定义an+1-an=d(常数)an+1/an=q(不为零的常数)通项an=a1+(n–1)dan-am=(n–m)dan=a1qn-1an/am=qn-m⑴公式⑵推导方法①归纳猜想②叠加法①归纳猜想②累乘法性质若m+n=r+s,m、n、r、sN*∈则am+an=ar+as若m+n=r+s,m、n、r、sN*∈则am·an=ar·as前n项和Sn⑴公式⑵推导方法(a1+an)nSn=2=na1+n(n–1)2d倒序相加法当q=1时Sn=na1当q≠1时Sna1(1–qn)1-q==a1-anq1-q错位相减法公式的推导过程中的数学思想:1、化归思想:将多项复杂的问题化归为少项简单的问题。2、方程思想:建立起关于sn的方程。3、分类讨论思想:在解关于sn的方程时进行了分类讨论,得到了等比数列的前n项和公式:11(1)1nnnasaqqq=1q≠11111,,8,2422qn1解:由a得n变式训练:如果是前项和呢?881112212551()12256128s四、公式的应用111248例1、求等比数列,,,的前8项和112122122112231223111222412234111122222311112222n112n远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增。共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?吴敬所著的《九章算法比类大全》中载有如下这样一首“数学诗”:五.小结1.从知识方面来小结2.从数学思想方法方面来小结111(1)11nnnnasaaqaqqq或1q1q,n结论:若数列a是等比数列232,,,mmmmmsssss则也是等比数列=1844674407370955161518446744073709551615(粒)约等于1.844674407乘以10的19次方(粒)下面我们首先估算一下这些麦粒的总重量约为多少亿吨。麦粒千粒重参考数据:豫审麦2005004统计每千粒重40.9克。我们假设一千粒重为40克,即0.040克/粒,1.844674407乘以10的19次方(粒),约等于7378.7亿吨另据国际谷物理事会预计2009年度全球小麦产量将达到创纪录的6.56亿吨。我们按全球小麦年产量6.56亿吨计算7378.7亿吨除以6.56亿吨=1124.801829也就是说相当于全球1124年的总产量。633222221数学就像人类的一部特制的精密的大型望远镜或显微镜一样,它大大延伸了人们洞察自然地能力,看到了不掌握数学的人无法看到的那个世界,能使人看到那些不懂数学的人无法看到的东西。---张楚廷《数学文化》