掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质，能综合运用抛物线的基本知识，分析探究与抛物线相关的综合问题．______1____.FlFlFl平面内与一定点和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物．抛物线的①定义线的2.抛物线的标准方程与几何性质00(0)(0)222222xyppFFpppxyxpy①准线；②轴；③轴；④，；⑤，；⑥；⑦；【要点指南】⑧；⑨1.(2010·四川卷)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8【解析】由y2＝8x，得p＝4，故选C.2.抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.18B．－18C．8D．－8【解析】将方程y＝ax2化为x2＝1ay，所以准线方程为－14a＝2，所以a＝－18.3.抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)【解析】由抛物线方程y2＝－8x，得2p＝8，所以p2＝2，从而抛物线的焦点为(－2,0)．4.(2010·泰州模拟)若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝－1.【解析】由题意知抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，点F在直线ax－y＋1＝0上，所以a＋1＝0，所以a＝－1.5.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|AB|等于8.【解析】|AB|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.一抛物线的定义及应用【例1】已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方相交于点A，AK⊥l，垂足为K，求△AKF的面积．【解析】如图所示，由已知，F(1,0)，根据抛物线定义知，|AF|＝|AK|，又kAF＝3，AK⊥l，所以∠KAF＝∠AFx＝60°，所以△AKF为正三角形，所以∠KFO＝60°，|BF|＝2，所以|KF|＝|BF|cos60°＝4，所以S△AKF＝12×42×sin60°＝43.【点评】充分应用抛物线的定义及图形的几何特征解题，简化运算．过抛物线y2＝8x的焦点F作抛物线的弦AB，若AB中点Q的横坐标为3，求弦AB的长．素材1【解析】抛物线的焦点为F(2,0)，准线方程为x＝－2，过A、B、Q分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1、Q1.由抛物线定义知，|AB|＝|FA|＋|FB|＝|AA1|＋|BB1|＝2|QQ1|＝2(3＋2)＝10.二抛物线的标准方程与几何性质【例2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．【分析】确定抛物线方程的形式→待定系数法确定参数p→明确结论.【解析】方法1：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－p2)，准线方程为y＝p2，因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，则m2＝6pm2＋－3＋p22＝5，解得p＝4m＝±26，所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.方法2：如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－p2)，准线l：y＝p2，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，所以3＋p2＝5，所以p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±26.【点评】(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法，利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值．(2)“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，许多圆锥曲线问题均可根据定义而获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形悟数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．(1)(2010·合肥二检)直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(B)A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x素材2(2)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于2.【分析】(1)由定义转化距离求参数p来确定方程．(2)“点差法”求AB的斜率，确定方程，进而求面积．【解析】(1)如图，分别过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M、N，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，又四边形AMNB为直角梯形，故AB的中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x＝－p2，所以4＝2＋p2⇒p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1y22＝4x2，⇒(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)⇒y2－y1x2－x1＝4y1＋y2＝42×2＝...
