2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．知能优化训练课前自主学案2．1.1合情推理课堂互动讲练课前自主学案根据数列的前几项写出数列的第n项．(1)1,3,5,7,9，…，_______，…(2)212，414，618，8116，…，_______，…(3)9,99,999,9999，…，_______，…温故夯基2n－12n＋12n10n－11．归纳推理由某类事物的________具有的某些特征，推出该类事物的________都具有这些特征的推理，或者由____事实概括出________的推理，称为________(简称归纳)．简言之，归纳推理是由__________、由__________的推理．知新益能部分对象全部对象个别一般结论归纳推理部分到整体个别到一般2．类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称____)．简言之，类比推理是由__________的推理．3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据______事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行____、____，然后提出____的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“________”的推理．类比特殊到特殊已有的归纳类比猜想合乎情理归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．问题探究课堂互动讲练数列中的归纳推理根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式或求和公式．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3…)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.例1考点突破【思路点拨】由a1＝1求a2→由a2求a3→由a3求a4→由a4求a5→分析a1，a2，a3，a4，a5的特征→猜想通项公式an【解】(1)当n＝1时，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)【思维总结】猜想通项公式时，首先从整体形式上分析：整数型、分数型、根式型等，再利用两相邻项之间相减、相除、加减某常数、平方等运算寻找规律．变式训练1已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝an1＋an(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解：当n＝1时，a1＝1，当n＝2时，a2＝11＋1＝12，当n＝3时，a3＝121＋12＝13，当n＝4时，a4＝131＋13＝14，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝1n(n∈N*)．根据特殊几何图形的位置关系或者度量关系，归纳出所有图形的这种关系．几何中的归纳推理如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．例2(1)在圆内画5条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？【思路点拨】每增加一条线段，与前面的每条线段最多产生1个交点，而新增加的第n条线段最多与前面的n－1条线段产生n－1个交点，则这n－1个点把第n条线段分为n段．每段把所在区域一分为二，共增加了n块区域且这n－1个点把这些点所在的线段一分为二，又增加了n－1条线段，这样就有：区域增加了n块，线段增加了n＋(n－1)＝2n－1条．【解】设在圆内画n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割成g(n)部分．(1)当n＝5时，f(5)＝f(4)＋4＋5＝16＋4＋5＝25，g(5)＝g(4)＋5＝11＋5＝16.(2)猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成f(n)＝n2条线段． g(1)＝2，g(2)＝g(1)＋2，g(3)＝g(2)＋3，g(4)＝g(3)＋4，……由此猜想g(n)＝g(n－1)＋n.将上述各式两边分别相加得g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(n)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(n－1)＋2＋2＋3＋4＋…＋n.∴g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n＝2＋n－1n＋2...
