3.4函数的应用(Ⅱ)目标导航课标要求1.能运用指数函数、对数函数、幂函数的性质,解决一些简单的实际问题.2.能根据实际问题构建适当的函数模型,体会函数模型的作用.素养达成通过指数函数、对数函数及幂函数在实际问题中的应用,培养数学建模和数学运算的核心素养.新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入情境导学知识探究1.平均增长率问题如果原来产值的基数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值为.2.储蓄中的复利问题如果本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则它们的关系为.N(1+p)xy=a(1+r)x【拓展延伸】1.反比例函数模型:y=(k>0)型,增长特点是y随x的增大而减小.2.指数函数模型:y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0)型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.3.对数函数模型:即y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的越来越慢(底数a>1,m>0).kx自我检测1.某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如表:则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是()①y=2x-1;②y=x2-1;③y=2x-1;④y=x2-x+1(A)①②(B)③④(C)②③(D)②④Bx123…y137…解析:将(1,1),(2,3),(3,7)代入验证即可.2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()(A)一次函数(B)二次函数(C)指数型函数(D)对数型函数解析:由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.D答案:24003.电脑成本不断降低,若每隔3年价格降低13,现在价格为8100元的电脑,9年后的价格可降为元.解析:经过9年,价格降3次,其价格为8100×3113=2400(元).类型一增长率问题课堂探究·素养提升【例1】某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择:一种是年利率10%,按单利计算利息,5年后收回本金和利息;另一种是年利率9%,按每年复利一次计算利息,5年后收回本金和利息.问哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元(结果精确到0.01万元)?思路点拨:这是一个单利和复利所获得利息多少的比较问题.可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少,再通过比较作答.解:本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1+10%×5)=150万元.本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1+9%)5=153.86万元.由此可见,5年后按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利,多得利息3.86万元.方法技巧在实际问题中,常常遇到关于平均增长率的问题,如果原来产值的基数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,可以用公式y=N(1+p)x表示.变式训练1-1:(2018·湖南衡阳联考)某科技股份有限公司为激励创新,计划逐年增加研发资金投入,若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg1.1≈0.041,lg2≈0.301)(A)2022年(B)2023年(C)2024年(D)2025年解析:设从2016年后,第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由题意可得100×(1+10%)n≥200,即1.1n≥2,两边取对数可得n>lg2lg1.1=0.3010.041≈7.3,则n≥8,即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2024年.故选C.类型二指数函数、对数函数模型思路点拨:当t<1时,图象为一次函数,当t>1时,函数为y=12ta的一部分,先由点(1,4)确定出解析式,再解答.【例2】某医药研究所研发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);解:(1)由题图得,当t∈[0,1]时,函数的解析式为y=kt,将M(1,4)代入得k=4,所以y=4t.又当t∈(1,+∞)时,函数的解析式为y=12ta,将点(3,1)代入得a=3,所以y=312t.综上有y=f(t)=3401,11.2tttt解:(2)由f(t)≥0.25,解得116≤t≤5.所以服药一次治疗疾病的有效时间为5-...
