高中数学 第四章第11节定积分的背景 面积和路程问题 北师大版选修2-2 试题VIP免费

我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。曲边梯形的面积问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()yfx的一段，我们把由直线,(),0xaxbaby和曲线()yfx所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？研究：求图中阴影部分是由抛物线2yx，直线1x以及x轴所围成的平面图形的面积S。思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？。分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．xxx1x1xy1xyy把区间0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．解：1．分割在区间0,1上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn，其长度为11iixnnn。分别过上述1n个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S，2S，…，nS显然，1niiSSini-1n1Oyxy=x2（2）近似代替记2fxx，如图所示，当n很大，即x很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数2fxx的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1in处的函数值1ifn，从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,iinn上，用小矩形的面积iS近似的代替iS，即在局部范围内“以直代取”，则有211iiiiSSfxxnn211(1,2,,)iinnn①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积nS为2111111nnnniiiiiiSSfxnnn=22111110nnnnnn=22231121nn=312116nnnn=1111132nn从而得到S的近似值1111132nSSnn（4）取极限分别将区间0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n趋向于无穷大时，即x趋向于0时，1111132nSnn趋向于S，从而有1111111limlimlim11323nnnnniiSSfnnnn3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间,ab中任意插入1n各分点，将它们等分成n个小区间1,iixx1,2,,in，区间1,iixx的长度1iiixxx，第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．3．求曲边梯形面积的四个步骤:第三步：求和．第四步：取极限。说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割→近似代替→求和→取极限2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值练习:求直线x=0,x=2,y=0与曲线2yx所围成平面图形的面积。回顾总结1．求曲边梯形的思想和步骤：分割→近似代替→求和→取极限(“以直代曲”的思想）。