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第 1 章 命题逻辑逻辑是研究人的思维的科学，包括辩证逻辑和形式逻辑。辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。数理逻辑是用数学方法研究推理的形式结构和推理的规律的数学学科。所谓的数学方法也就是用一套有严格定义的符号，即建立一套形式语言来研究。因此数理逻辑也称为符号逻辑。数理逻辑的基础部分是命题逻辑和谓词逻辑。本章主要讲述命题逻辑，谓词逻辑将在第 2 章进行讨论。1.1 命题及其表示1.1.1 命题的基本概念数理逻辑研究的中心问题是推理（Inference)，而推理就必然包含前提和结论，前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素。在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题。因此命题就成为推理的基本单位。在命题逻辑中对命题的组成部分不再进一步细分。定义 1.1.1 能够判断真假的陈述句称为命题（Proposition）。命题的判断结果称为命题的真值，常用 T(True)（或 1）表示真，F(False)（或 0）表示假。真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二是能否判定真假，二者缺一不可。例 1.1.1 判断下列句子是否为命题（1）北京是中国的首都。（2）请勿吸烟！（3）雪是黑的。（4）明天开会吗？（5）x+y=5。（6）我正在说谎。（7）9+5≤12。（8）1+101=110。（9）今天天气多好啊！（10） 别的星球上有生物。解 在上述的十个句子中，（2）、（9）为祈使句，（4）为疑问句，（5）、（6）虽然是陈述句，但（5）没有确定的真值，其真假随 x、y 取值的不同而有改变，（6）是悖论(Paradox)（即由真能推出假，由假也能推出真），因而（2）、（4）、（5）、（6）、（9）均不是命题。（1）、（3）、（7）、（8）、（10）都是命题，其中（10）虽然现在无法判断真假，但随着科技的进步是可以判定真假的。需要进一步指出的是，命题的真假只要求它有就可以，而不要求立即给出。如例 1.1.1 的（8）1+101=110，它的真假意义通常和上下文有关，当作为二进制的加法时，它是真命题，否则为假命题。还有的命题的真假不能马上给出，如例 1.1.1 的（10），但它确实有真假意义。1.1.2 命题分类根据命题的结构形式，命题分为原子命题和复合命题。定义 1...