几何角度解释矩阵出现病态VIP免费

1 / 10 矩阵的范数范数的定义若 X 是数域K 上的线性空间， 泛函║· ║ : X->R 满足：1. 正定性：║ x║≥0，且║ x║=0 <=> x=0 ；2. 正齐次性：║AB║│≤│ A║ B║；3. 次可加性 ( 三角不等式) ：║ A+B║≤║ A║+║ B║ 。那么║· ║称为X 上的一个范数。（注意到║ x+y║≤║ x║+║y║中如令y=-x ，再利用║ - x║=║x║可以得到║ x║≥0，即║ x║≥0在定义中不是必要的。）在AX=B 式中，当 A、B有微小扰动时，参数估值Ｘ也有扰动：（A＋Δ A）（Ｘ＋ Δ Ｘ）＝ B＋Δ B （1）AΔ Ｘ＝ Δ A（Ｘ＋ Δ Ｘ）+ Δ B Δ Ｘ＝－ A-1 Δ A（Ｘ＋ Δ Ｘ）＋ A－１ Δ B将上式两端取范数，并应用向量范数的三角不等式║ AB║│≤│ A║ B║；║ A+B║≤║ A║+║ B║ 。||Δ Ｘ||≤ ||A-1||||Δ A||（ ||Ｘ|| ＋ ||Δ Ｘ ||）＋||A-1| ||Δ B|| 把含有 Δ Ｘ的项移到式子的左边有：2 / 10 (1-||A-1|||| Δ A||)||Δ Ｘ||≤||A-1||||Δ A|| ||Ｘ||+||A-1| || Δ B|| 由于有||Ｘ ||≤||A||/||B||将上式两端同时乘以||Ｘ||得：(1-||A-1|||| Δ A||)||Δ Ｘ||/||X||≤||A-1||||Δ A|| +||A-1|||| Δ B||A||/||B||; 设K=||A||||A-|| 将上式整理的：（1-K|| Δ A||/||A|| ）||Δ Ｘ||/||X||≤ K(||Δ A||/||A||+|| Δ B||/||B||); 即有： ||Δ Ｘ||/||X|| ≤k/ （ 1-K|| Δ A||/||A|| ）(||Δ A||/||A||+|| Δ B||/||B||); 问题与实验 1: 试从几何的角度解释矩阵出现病态的原因，并用‘有说服力’的例子来支持你的观点；线性方程组解的敏感性的几何解释(2x2 矩阵)线性方程组求解：两直线求交点下面两图分别反映了良态问题和病态问题两种情况。良态情况病态情况由图像可以看出当两条直线的夹角较大时其精确解与近似解距离较小（其中两条直线的交点是其精确解）当两条直线的夹角较小时其精确解与近似解距离较大。虚线为直线的系数产生微小的扰动时的直线。下面我们用两个例子说明：3 / 10 例 设方程组bAx，即00001.8800001.626221xx，它的精确解为T)1,1(. A=[2,6;2,6.00001;] B=[8;8.00001] C=double(A\B) cond(A) norm(A) A = 2.0000 6.0000 2.0000 6.0000 B = 8.0000 8.0000 C = 1 1 ans = 4.0000e+006 ans =8.9443 下面我们来求上面两条直线的夹角：计算直线夹角根据给定的节点，计...