利用导数解决生活中的优化问题建立数学模型利用导数解决生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、 最小值的实际问题， 主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。一．解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系， 建立适当的函数关系，并确定函数的定义域， 通过创造在闭区间内求函数取值的情境， 即核心问题是建立适当的函数关系。 再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．二．利用导数解决优化问题的基本思路：三、应用举例例 1（体积最大问题）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架， 要求长方体的长与宽之比为 2:1，问该长方体的长、 宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解决数学模型作答用函数表示的优化用导数解决优化问题解：设长方体的宽为(m)x，则长为 2 (m)x，高为181234.53 (m)042xhxx．故长方体的体积为22323( )2(4.53 )96(m ) 02V xxxxxx．从而2( )181818 (1)Vxxxxx ．令( )0Vx，解得0x（舍去）或1x，因此1x．当 01x时，( )0Vx；当312x时，( )0Vx．故在1x处( )V x 取得极大值，并且这个极大值就是( )V x 的最大值．从而最大体积233(1)9 16 13(m )VV，此时长方体的长为 2m ，高为 1.5m ．答：当长方体的长为2m ，宽为 1m，高为 1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ．点评：用导数来解决实际问题时， 一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的范围，再列出关系式， 对关系式进行求导， 最后求出最值来。例 2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥。试问当帐篷的顶点 O到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位： m）2223(1)82xxx 于是底面正六边形的面积为：2222233 33(1)6( 82)(82)42xxxxx m2帐篷的体积为233 313( )(82)(1) 1(16 12)232V xxxxxxm3求导数，得23( )(123)2Vxx 令( )0Vx解得 x=-2( 不合题意，舍去 ),x=2. 当 1
