化二次型为标准形的方法内容摘要 : 高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以线性变换为方法 ，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法关键词 ：二次型线性替换矩阵标准形导言： 二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。 在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。化二次型为标准形的方法一．配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()ijx x ij 这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。定理 : 数域 P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...nnd xd xd x 的形。1. 如果二次型含有ix 的平方项，那么先把含有ix 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。例 1. 上述所给出的方法化二次型23( ,,)f x xx22112223224xx xxx x 为标准形，写出所用的变换矩阵。解：原二次型中含有ix 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ，然后对2x 配平方，消去23x x 项。此过程为于是作非退化的线性替换：即于是就得到所用的变换矩阵为且有2. 如果所给二次型中不含有ix 平方项，但是0ija()ij , 我们就可以用前面所提到的方法构造出平...
