两个计数原理与排列、组合两个计数原理与排列、组合考 点 串 串 讲 1．两个原理及其区别 分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有 n 类办法，这 n 类办法之间是互斥的、是独立的，那么求完成这件事情的方法总数就用分类加法计数原理． 分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有 n 个步骤，而这 n 个步骤缺一不可，当且仅当依次完成这 n 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理． 当然，在解决实际问题时，并不一定是单一的应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理，有时可能同时用到两个计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成，而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数．对于同一事件，我们可以做不同的处理，从而得到不同的解法(但相同的方法数)，这也是检验排列组合问题的很好方法． 2．排列、组合的定义 (1)排列：从 n 个不同的元素中，任取 m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． (2)组合：从 n 个不同的元素中，任取 m(m≤n)个不同的元素并成一组叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (3)排列与组合的区别与联系 排列与组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序．不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先选之，再排队”． 3．基本公式 (1)排列数公式 ①Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) (连乘形式) ＝n！n－m！ m≤n，n、m∈N*. (阶乘形式) ②Ann＝n！＝1·2·3…n(自然数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘)． 规定：0！＝1. (2)组合数公式、组合数的性质 ①组合数公式 Cmn ＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！ ＝n！m！n－m！(m、n∈N*，m≤n)． ②组合数性质 Cmn ＝Cn－mn，规定 C0n＝1； Cmn＋1＝Cmn ＋Cm－1n； C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n； Cnn＋Cnn＋1＋Cnn＋2＋…＋Cnn＋m＝Cn＋1n＋m＋1. (ⅰ)Cmn ＝Cn－mn，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数等于从这 n 个元素中取出 n－m 个元素的组合数． (ⅱ)Cmn＋1＝Cmn ＋Cm－1n. 从 a1，a2…an＋1这 n＋1 ...
