第五节 解三角形第五节 解三角形教 材 面 面 观 1．正弦定理： asinA＝______＝______＝2R，其中 R 是______． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝________，cosA＝________. 答案 bsinB csinC 三角形外接圆半径 答案 a2＋c2－2accosB b2＋c2－a22bc 3．三角形常用面积公式： (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高)． (2)S＝12absinC＝________＝12bcsinA＝abc4R. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)． 答案 12acsinB 考 点 串 串 讲 1．解直三角形 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， (1)三边满足勾股定理 (2)两锐角互余，即∠A＋∠B＝90° (3)边角之间有如下关系 sinα＝α的对边斜边 cosα＝α的邻边斜边 tanα＝α的对边α的邻边(其中 α 为某个锐角) 2．正弦定理 (1)正弦定理 若 a、b、c 分别是△ABC 的顶点 A、B、C 所对的边长，则 asinA＝ bsinB＝ csinC＝2R，其中 R 是△ABC 外接圆的半径． 正弦定理不仅揭示了三角形中边与角之间的正弦关系，而且还揭示了它们与三角形的外接圆半径之间的关系，其变形形式有： a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA＝ a2R，sinB＝ b2R，sinC＝ c2R asinB ＝ bsinA ， csinB ＝ bsinC ， csinA ＝ asinC ， abc＝sinAsinBsinC 以上这些关系式，可根据问题的条件和结论加以选择应用． (2)利用正弦定理解斜三角形 利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题： ①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边和角． ②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角． 对于已知两边和其中一边的对角，要注意解的讨论，因为这时三角形是不能唯一确定的，解这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况．图 1 和图 2 就表示了在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时解三角形的各种情况． 1°当 A 为锐角时，见图 1. 2°当 A 为直角或钝角时，见图 2. (3)几点说明： ①正弦定理的本质揭示了三角形的边和所求角的关系，适用范围是任何三角形． ②若题设中出现的边或角的正弦是齐次的，则一般可以利用正弦定理或将边转化为角的三角函数或将角的三角函数转化为边． 3．余弦定理 (1)余弦定理：若 a、b、c 分别是△ABC 的顶点 A、B、C 所对边长，则 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表示形...
